Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
1 Методы исследования динамических систем 8
1.1 Задание модели и уравнения движения 8
1.2 Численные методы интегрирования систем уравнений 9
1.3 Сечения Пуанкаре 11
2 Модель Хенона-Хейлеса 13
2.1 Описание модели 13
2.1.1 Классическая модель 13
2.1.2 Обобщенная модель 14
2.2 Результаты исследования 16
2.2.1 Уравнения движения и выбор начальных условий 16
2.2.2 Орбиты и сечения Пуанкаре 17
3 Логарифмический потенциал и потенциал Кузмина 22
3.1 Описание модели и уравнения движения 22
3.1.1 Логарифмический потенциал 22
3.1.2 Потенциал Кузмина 24
3.2 Орбиты и сечения Пуанкаре 27
Выводы 30
Заключение 32
Список литературы 33
Приложение 35
В последнее время анализ динамических систем получил огромное распространение в силу того, что значительно выросла мощность современных компьютеров. Изучение такой системы начинается с построения математической (компьютерной) модели. Модель представляет из себя набор элементов, заданных в момент времени, и закона, определяющего изменение (динамику) состояния этих элементов во времени. В качестве исходной функции описания модели можно взять потенциал или гамильтониан системы. Далее строится система дифференциальных уравнений, описывающих движение в рассматриваемой модели. Как правило, система дифференциальных уравнений является достаточно сложной, и решать ее приходится численно. При этом нельзя забывать, насколько важным является выбор метода численного интегрирования при анализе полученных траекторий. Исследование проводится как в физическом, так и в фазовом пространстве.
Моделирование динамических систем (консервативных и диссипативных) применяется во многих областях науки, в том числе и в астрономии. Например, в исследовании эволюции Солнечной системы или в изучении динамики и строении галактик, скоплений галактик. Динамика звездной системы определяется орбитами звезд. Интересен характер их движения — хаотический или регулярный. Разработаны и активно используются в литературе различные методы анализа поведения системы: сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, численный анализ фундаментальных частот [1, 2, 3].
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, постановки задачи, обзора литературы, трех глав, выводов, заключения, списка литературы и приложений. В первой главе говорится об описании и методах исследования динамических систем. Вторая глава посвящена задаче Хенона-Хейлеса [10], одной из самых распространенных задач в области изучения моделей с двумя степенями свободы (см., например, [5, 7, 13]). Она до сих пор привлекает огромное внимание исследователей, так как именно в ней впервые в гамильтоновой механике был получен хаотический тип поведения [7]. В третьей главе показано применение описанных и разработанных методов для анализа моделей реалистичных звездных систем, а именно: логарифмического потенциала и потенциала Кузмина [8].
В данной работе была рассмотрена задача описания и исследования динамической модели с двумя степенями свободы. В качестве исходной функции описания модели принимался потенциал, с помощью которого задавались действующие в системе силы. Были рассмотрены три такие модели.
Для получения орбит и фазового портрета в рамках поставленной задачи был разработан алгоритм задания начальных условий и решена задача Коши. Было исследовано влияние интеграла энергии на регулярность движения по орбите в рассмотренных потенциалах. При этом для каждой траектории осуществлялась проверка сохранения энергии и проверка того, что орбита не выходит из области, ограниченной линией нулевых скоростей.
В случае обобщенной системы Хенона-Хейлеса влияние энергии прослеживалось очень четко, увеличение энергии способствовало уменьшению количества регулярных орбит и появлению областей хаотичности. Для двух других моделей, логарифмической и Кузмина, было отмечено, что типы орбит (их морфология) и характер движения (регулярный или нет) зависели не только от начальных условий и интегралов движения, но и от выбранных значений структурных параметров потенциалов. Большинство орбит оказывались регулярными.
