Тема: Исследование орбит в динамических системах с двумя степенями свободы

В последнее время анализ динамических систем получил огромное рас­пространение в силу того, что значительно выросла мощность современ­ных компьютеров. Изучение такой системы начинается с построения ма­тематической (компьютерной) модели. Модель представляет из себя набор элементов, заданных в момент времени, и закона, определяющего изме­нение (динамику) состояния этих элементов во времени. В качестве ис­ходной функции описания модели можно взять потенциал или гамиль­тониан системы. Далее строится система дифференциальных уравнений, описывающих движение в рассматриваемой модели. Как правило, система дифференциальных уравнений является достаточно сложной, и решать ее приходится численно. При этом нельзя забывать, насколько важным яв­ляется выбор метода численного интегрирования при анализе полученных траекторий. Исследование проводится как в физическом, так и в фазовом пространстве.
Моделирование динамических систем (консервативных и диссипатив­ных) применяется во многих областях науки, в том числе и в астрономии. Например, в исследовании эволюции Солнечной системы или в изучении динамики и строении галактик, скоплений галактик. Динамика звездной системы определяется орбитами звезд. Интересен характер их движения — хаотический или регулярный. Разработаны и активно используются в лите­ратуре различные методы анализа поведения системы: сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, численный анализ фундаментальных частот [1, 2, 3].
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, постанов­ки задачи, обзора литературы, трех глав, выводов, заключения, списка литературы и приложений. В первой главе говорится об описании и ме­тодах исследования динамических систем. Вторая глава посвящена задаче Хенона-Хейлеса [10], одной из самых распространенных задач в области изучения моделей с двумя степенями свободы (см., например, [5, 7, 13]). Она до сих пор привлекает огромное внимание исследователей, так как именно в ней впервые в гамильтоновой механике был получен хаотический тип поведения [7]. В третьей главе показано применение описанных и раз­работанных методов для анализа моделей реалистичных звездных систем, а именно: логарифмического потенциала и потенциала Кузмина [8].
Купить

В данной работе была рассмотрена задача описания и исследования дина­мической модели с двумя степенями свободы. В качестве исходной функции описания модели принимался потенциал, с помощью которого задавались действующие в системе силы. Были рассмотрены три такие модели.
Для получения орбит и фазового портрета в рамках поставленной задачи был разработан алгоритм задания начальных условий и решена за­дача Коши. Было исследовано влияние интеграла энергии на регулярность движения по орбите в рассмотренных потенциалах. При этом для каждой траектории осуществлялась проверка сохранения энергии и проверка того, что орбита не выходит из области, ограниченной линией нулевых скоро­стей.
В случае обобщенной системы Хенона-Хейлеса влияние энергии про­слеживалось очень четко, увеличение энергии способствовало уменьше­нию количества регулярных орбит и появлению областей хаотичности. Для двух других моделей, логарифмической и Кузмина, было отмечено, что типы орбит (их морфология) и характер движения (регулярный или нет) зависели не только от начальных условий и интегралов движения, но и от выбранных значений структурных параметров потенциалов. Большинство орбит оказывались регулярными.
Купить