1. Введение 4
2. Постановка задачи 4
3. Двумерный случай 5
3.1. Случай a G (0, 2] 9
3.2. Случай a G (2,л) 10
3.3. Результат 11
4. Трёхмерный случай 11
4.1. Изучение случая s=0 14
4.2. Значения f в ±1 15
4.3. Поведение в окрестности нуля 16
4.4. Сравнение с единицей 22
5. Заключение 27
Список литературах 27
Задача о норме оператора продолжения из конуса была предложена В. Г. Мазья. Он также высказал гипотезу об ответе в двумерном случае. В настоящей работе эта гипотеза подтверждена, а также получены некоторые предварительные результаты для трёхмерного случая.
В двумерном случае задача решена, ответ
Т ||2
к 2 /л — а
В трёхмерном случае задача сведена к поиску супремума по целым неотрицательным к и вещественным неотрицательным s выражения
#(арУ(т — а)
91(о)9('х — а) ’
где W 9(0) = Р^i,9- (cos0), где Р^ 1- присоединённая функция Лежандра первого рода.
2 T26S2 |26S
При s = 0 про это выражение выяснено, что для любого к при а Е (0, 2) оно больше единицы, а при а Е (2, л) оно меньше единицы. Отсюда следует, что ||Т|| > 1 при а < 2. Более того, из асимптотики f (х) пр и х ^ 1 и к = 0 следует, что при а -> 0 выполне но ||Т || -> оо.
