Построение матриц Ляпунова для систем со многими запаздываниями

Содержание 2
Введение 4
Функционал и матрица Ляпунова 4
Системы с большим количеством запаздываний 5
Обзор литературы 7
1 Постановка задачи 8
2 Алгоритм вычисления матрицы Ляпунова 9
3 Работа с разреженными матрицами 12
3.1 Хранение разреженной матрицы 12
3.2 Вычисление матричной экспоненты 13
4 Реализация программы 17
4.1 Пакет Caluculation Lyapunova 17
4.2 Класс SpareMatrix 18
4.2.1 Сложение двух разреженных матриц 20
4.2.2 Вычитание из одной разреженной матрицы другую 21
4.2.3 Умножение двух разреженных матриц 22
4.2.4 Умножение матрицы на число 22
4.2.5 Операция унарного минуса 23
4.2.6 Транспонирование матрицы 23
4.2.7 Получение следа матрицы 23
4.2.8 Получение размера матрицы 24
4.2.9 Восстановление разреженной матрицы в нормальный вид 24
4.2.10 Получение нормы матрицы 24
4.3 Класс Storge 24
4.4 Класс ComplexFunction 24
4.4.1 Перевод блочной матрицы в разреженную матрицу 25
4.4.2 Произведение Кронекера 25
4.4.3 Метод Гаусса 26
4.4.4 Точность экспоненты 26
4.5 Класс ClassExp 26
5 Интерфейс программы 28
6 Пример работы программы 29
7 Характеристики работы программы 34
8 Сравнительная характеристика с программой, написанной на Matlab 35
9 Заключения 36
Список литературы 37
Приложение 38
Купить

Функционал и матрица Ляпунова
Многочисленные процессы, основанные на передаче информации, энергии, массы и т.д, сопровождаются запаздыванием. Это запаздывание может быть обусловлено самыми разными причинами: например, электрический сигнал или ограниченность скорости протекания технологических процессов и т.п. Неучитывание запаздывания в моделях может привести к существенным ошибкам в расчетах. Например, рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений с запаздыванием: т
Ajx(t-jW), t>0, (1)
j=o
где Aj - данные вещественные матрицы пхп, и h положительное запаздывание. Для исследования устойчивости и поведения систем с запаздыванием применяется функционал Ляпунова-Красовского полного вида:
v0(p)
А Г0
- <рт(О)и(О)(ф(О) + ) 2фт(0) U(-hj - 0}Ajp(0)d0
£1 J~hJ
где начальная функция ф : [-mh, 0] ^ Rn.
Пусть
ад - f KT(t)WK(t + f)dt,
Jo
Для системы (1) матрица U(t) называется матрицей Ляпунова, связанной с матрицей W. Матрица K(t) - является фундаментальной матрицей.
Определение. Матрица K(t) размерности п*п называется фундаментальной матрицей системы (1), если она удовлетворяет матричному уравнению
т
— K(t)=^K(t-hl)Ai, t>0,
j=0
С начальными условиями K(t} = 0пХп для t < 0, К(0 = I.
В рамках работы рассматривается алгоритм построение матрицы Ляпунова для систем дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями. Рассмотрим ситуации, когда появляются системы с большим количеством запаздываний.
Системы с большим количеством запаздываний
Рассмотрим систему следующего вида:
dx(t)
—■— = Aox(t) + A±x(t — ht) + A2x(t — h2), t > 0 ,
at
где h± = V1/q1,h2= ^2/q2. Тогда, чтобы применить алгоритм вычисления матрицы Ляпунова, нужно привести hk к виду hk = kh. Для этого посчитаем N = HQK(q1, q2) , и тогда
hi = Р1/Ч1 = b±-h,
h2 = P2/q2 = b2-h,
где h = 1/щ, bj - целое число. После такой замены количество запаздываний станет не 2 как в первоначальной системе, а больше. Например, если h± = 3/4,h2 = 5/9 , то НОК(4,9) = 36, следовательно, h = 1/36,b± = 20, Ь2 = 27 . Отсюда видно, что количество запаздываний становится равно 27. Все Aj, кроме двух, данных в первоначальной системе, будут нулевыми, но при этом матрицы промежуточных вычислений будут сильно разреженными. В результате возникает проблема хранения и работы с разреженными матрицами. В рамках работы будут изучены методы хранения и работы с разреженными матрицами, а так же будет реализован алгоритм вычисления матрицы Ляпунова.
Купить