Тема: Построение матриц Ляпунова для систем со многими запаздываниями

Функционал и матрица Ляпунова
Многочисленные процессы, основанные на передаче информации, энергии, массы и т.д, сопровождаются запаздыванием. Это запаздывание может быть обусловлено самыми разными причинами: например, электрический сигнал или ограниченность скорости протекания технологических процессов и т.п. Неучитывание запаздывания в моделях может привести к существенным ошибкам в расчетах. Например, рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений с запаздыванием: т
Ajx(t-jW), t>0, (1)
j=o
где Aj - данные вещественные матрицы пхп, и h положительное запаздывание. Для исследования устойчивости и поведения систем с запаздыванием применяется функционал Ляпунова-Красовского полного вида:
v0(p)
А Г0
- <рт(О)и(О)(ф(О) + ) 2фт(0) U(-hj - 0}Ajp(0)d0
£1 J~hJ
где начальная функция ф : [-mh, 0] ^ Rn.
Пусть
ад - f KT(t)WK(t + f)dt,
Jo
Для системы (1) матрица U(t) называется матрицей Ляпунова, связанной с матрицей W. Матрица K(t) - является фундаментальной матрицей.
Определение. Матрица K(t) размерности п*п называется фундаментальной матрицей системы (1), если она удовлетворяет матричному уравнению
т
— K(t)=^K(t-hl)Ai, t>0,
j=0
С начальными условиями K(t} = 0пХп для t < 0, К(0 = I.
В рамках работы рассматривается алгоритм построение матрицы Ляпунова для систем дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями. Рассмотрим ситуации, когда появляются системы с большим количеством запаздываний.
Системы с большим количеством запаздываний
Рассмотрим систему следующего вида:
dx(t)
—■— = Aox(t) + A±x(t — ht) + A2x(t — h2), t > 0 ,
at
где h± = V1/q1,h2= ^2/q2. Тогда, чтобы применить алгоритм вычисления матрицы Ляпунова, нужно привести hk к виду hk = kh. Для этого посчитаем N = HQK(q1, q2) , и тогда
hi = Р1/Ч1 = b±-h,
h2 = P2/q2 = b2-h,
где h = 1/щ, bj - целое число. После такой замены количество запаздываний станет не 2 как в первоначальной системе, а больше. Например, если h± = 3/4,h2 = 5/9 , то НОК(4,9) = 36, следовательно, h = 1/36,b± = 20, Ь2 = 27 . Отсюда видно, что количество запаздываний становится равно 27. Все Aj, кроме двух, данных в первоначальной системе, будут нулевыми, но при этом матрицы промежуточных вычислений будут сильно разреженными. В результате возникает проблема хранения и работы с разреженными матрицами. В рамках работы будут изучены методы хранения и работы с разреженными матрицами, а так же будет реализован алгоритм вычисления матрицы Ляпунова.
Купить

В рамках работы требовалось построить матрицу Ляпунова для системы (1). В результате был предложен алгоритм нахождения матриц Ляпунова для систем со многими запаздываниями, основанный на теории разреженных матриц. Проведен запуск алгоритма для максимально числа запаздываний равного 30, при размерности матрицы 3*3. Характеристики выполненных запусков и примеры работы приведены выше. Результаты работы были доложены на научной конференции “Процессы управления и устойчивость”. В дальнейшем планируется ввести распараллеливание потоков при вычислении степени матрицы и экспоненты от матрицы.
Купить