Применение управления с прогнозирующими моделями для задачи SIIR

Введение 3
Обзор литературы 4
Постановка задачи 6
Глава 1. Эпидемические модели 7
1.1. Модель SIIR 7
1.2. Модель SIIRS 9
1.3. Модель SWIIRS 11
1.4. Линеаризация задачи SIIR 12
1.5. Управляемый параметр скорости заражения 15
Глава 2. Управление с прогнозированием модели 19
2.1. Построение УМП для линейных систем 19
Глава 3. Реализация УПМ в Matlab 22
3.1. Моделирование эпидемических задач 22
3.2. Подключение MPC-контроллера 23
Глава 4. Вычислительные эксперименты 25
4.1. Эксперимент 1 25
4.2. Эксперимент 2 27
4.3. Эксперимент 3 30
Заключение 33
Список литературы 34
Приложение 1 37
Купить

На сегодняшний день учеными-биологами обнаружено и описано большое количество различных видов вирусов. Инфекционные заболевания, вызываемые вирусами, остаются одной из главных проблем современного мира. По оценкам ВОЗ [25], только вспышки гриппа приводят к 500 тысячам смертей по всему миру. Однако помимо гриппа в человеческой популяции циркулирует множество других вирусов (коронавирусы, туберкулёз, малярия, корь и др.), каждый из которых в той или иной мере оказывает влияние на экономику государств и предприятий. Например, из-за пандемии COVID-19 многим организациям и образовательным учреждениям пришлось перейти на дистанционный или смешанный режим работы, что могло привести к дополнительным финансовым затратам для предприятий. Поэтому одной важной задачей систем здравоохранения является разработка эффективных стратегий по борьбе с распространением вирусов, а также поиск способов контроля количества инфицированных. В связи с этим в современном мире возникают, как задачи моделирования эпидемических процессов, так и задачи поиска оптимальных и эффективных стратегий, позволяющих снизить ущерб от эпидемий и пандемий.
Для решения первой задачи в настоящей работе используются актуальные варианты управляемых компартментных эпидемических модели. Современные исследования показывают, что такие модели могут использоваться для оценки числа зараженных и выздоровевших в популяции. За основу были взяты модели [11], которые учитывают циркуляцию сразу нескольких видов вирусов в популяции, а группа инфицированных подразделяется на несколько подгрупп. В рамках текущего научного исследования изучаемые модели были дополнены возможностью управления числом связей между субъектами модели. Для полученной задачи на данный момент критерии оптимальности решения ещё не получены. Именно поэтому для поставленной задачи был выбран алгоритм поиска эффективных управлений - управление с прогнозированием модели (Model Predictive Control, УПМ).
Использование метода управления с прогнозированием модели позволяет решить вторую из поставленных задач, а именно разработку стратегий по снижению распространения вируса. Сегодня УПМ успешно применяется в управлении технологическими процессами, однако по мнению автора, его концепции также применимы и к эпидемическим процессам. Согласно различным исследованиям, метод показал высокую эффективность в задачах автоматизации химических, энергетических и производственных процессов. Главным преимуществом метода является создание собственных моделей прогнозирования процесса, благодаря которым полученные управляющие сигналы являются эффективными на протяжении интервала времени, превышающем интервал времени управления. По этой причине, контроллеры, использующие метод управления с прогнозированием модели устойчивы шумам и могут адаптироваться к изменениям процесса.
Выпускная квалификационная работа имеет следующую структуру. В главе 1 рассматриваются основные эпидемические модели распространения вирусов, как задачи оптимального управления. В этой же главе проводится линеаризация данных моделей, которая необходима при поиске решения MPC-контроллером, а также модификация параметра отвечающего за интенсивность заражения. Во второй главе описан алгоритм метода управления с прогнозированием модели и представлен пример прогнозирования линейной системы. Глава 3 посвящена компьютерному моделированию описанных задач, а также реализации метода с помощью MPC-контроллеров доступных в языке программирования Matlab. В рамках главы 4 проводится серия численных экспериментов, в ходе которой определяется эффективность полученных решений, а также определяются эффективные управления и траектории модифицированных задач. В заключении формулируются выводы о применимости данного подхода, а также проводится анализ результатов исследования.
Обзор литературы
Можно выделить четыре группы источников, на которые опирается данное исследование:
1. научные статьи и доклады, посвященные моделям распространения вирусов и связанным с ними задачам;
2. научные публикации с применением УПМ в задачах поиска эффективных управлений;
3. сайты, занимающиеся сбором статистики количества заражений и выздоровлений;
4. документация языков программирования Matlab и Scilab.
Первые статьи в области эпидемического моделирования с использованием компартментных моделей появились ещё в 1920-х годах [14]. Гораздо позднее эти модели были модифицированы и стали изучаться как системы с управлением [15]. После этого были получены необходимые условия оптимальности с помощью принципа максимума Понтрягина для задач с несколькими вирусами [10, 11]. После пандемии COVID-19, вызванной вирусом SARS-CoV-2, появилось множество статистической информации [23, 24, 25], которая была использована для улучшения имеющихся эпидемических моделей [2, 9]. В ходе изучения статистических данных удалось обнаружить, что число контактов и частота заражений в значительной степени зависит от мер, вводимых государствами. По этой причине было принято решение внести модификацию в изучаемые модели, добавив возможность управления количеством контактов.
Для решения сформулированной задачи был выбран метод управления с прогнозированием модели. УПМ был предложен в 1950-х годах американским математиком Ричардом Беллманом при разработке оптимального управления динамическими системами. Более подробно метод был изложен в научных статьях 1980-х годов [4, 5, 7, 16]. Изначально подход применялся в обрабатывающей и добывающей промышленности [6, 17]. Благодаря развитию методов компьютерного моделирования и нейронных сетей [18, 21], УМП стал успешно применяться и для более сложных задач [13, 20], таких как управление транспортными средствами [1] и роботами [1], менеджментом электрических сетей [19], а также для контроля сложных химических процессов [3].
Управление с прогнозированием модели реализовано на разных языках программирования, но наиболее популярными считаются библиотеки для Matlab и Python. В языке программирования Matlab метод реализуется с помощью объекта MPC-контроллер. На сайте компании MathWorks представлено множество примеров реализации УПМ [22], с параллельным и последовательным подключением нескольких MPC-контроллеров. Для долгосрочного планирования в эпидемических задач были использованы последовательно подключенные контроллеры MPC.
Постановка задачи
Целью данной научно-исследовательской работы является создание пакета программ, который применяя метод управления с прогнозированием модели (УПМ), находит эффективные решения эпидемических задач. Разработанный комплекс программ может быть использован для снижения ущерба, связанного с распространением инфекционных заболеваний. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1) изучены современные исследования в области эпидемических моделей и применения метода УПМ;
2) собрана информация о случаях заражения и выздоровления в период эпидемии COVID-19;
3) описаны математические модели эпидемических процессов и сформулированы соответствующие им задачи оптимального управления;
4) проведена модификация изученных моделей, путём ввода возможности управления числом контактов в популяции;
5) разработана компьютерная программа, которая находит эффективное управление в сформулированных задачах с помощью прогнозирования модели; и разработана программа поиска решения методом УПМ;
6) выявлены основные преимущества и недостатки подхода УПМ.

Купить