Исследования спектра гамильтониана в одномерной модели Грибова

1 Введение 2
1.1 Трёхмерная модель Грибова 2
1.2 Одномерная модель 2
1.3 Формализм Лагранжа 2
1.4 Переход к формализму Гамильтона 3
1.5 Классический случай 3
1.6 Квантование в терминах ф1, ф2: первый способ 4
1.7 Квантование в терминах ф1, ф2: второй способ 5
2 Каноническое квантование 6
2.1 Квантование Фока-Баргманна 6
2.2 Стационарное уравнение Шрёдингера 6
2.3 Эрмитизация 7
3 Уравнение Гойна 8
3.1 Обозначения 8
3.2 Ряды Фробениуса и Томе 9
4 Метод нахождения спектра 10
4.1 Центральная двухточечная задача связи 10
4.2 Вычисление вронскианов 11
5 Заключение 13
Список литературы 14
Купить

1.1 Трёхмерная модель Грибова
Владимир Наумович Грибов в 1967 году предложил [1] рассмотреть модель со следующей плотностью функции Лагранжа:
(формула в виде рисунка)
где ' = '1 + i'2 — поле, '1(x, y), '2(x, y) : R2 x iR ! R у = it — мнимое время, д — безразмерная масса, А — константа связи.
Модель (1) была предложена как эффективная модель взаимодействия померонов в квантовой хромодинамике. Померон (или особенность Померан- чука) есть особое бесцветное связанное состояние глюонов. Померон описы­вается комплексным скалярным полем; в этом случае параметр д = а(0) — 1 связан с интерцептом реджевской траектории померона, а а' - наклон траек­тории, который можно считать очень малым, исходя из экспериментальных данных. Безразмерная величина у имеет смысл быстроты, то есть логарифма энергии процесса рассеяния. Эффективное действие (1) было получено путем анализа диаграмм Фейнмана и потому носит исключительно пертурбативный характер.
1.2 Одномерная модель
Примем а' = 0. Такая модель называется "игрушечной"и в ней плотность функции Лагранжа имеет вид
L = 2 ('y@y' - 'dy'y) - д'У' + iA'y (' + 'y) '.
В данной работе рассматривается именно эта модель. При отсутствии члена с произведением градиентов полей утрачивается динамическая связь между полями, и модель эффективно становится одномерной. Предполагается, что использование методов квантовой механики позволит получить точное реше­ние в модели (2) вне рамок теории возмущений по константе связи.
1.3 Формализм Лагранжа
Перепишем (2) в терминах '1и '2: 1
L = 2 (('1 - i'2) (@y'1 + i@y'2) - ('1 + i'2) (@y'1 - i@y'2)) -
— д ('1 + '2) + 2iA'1 ('2 + '2) . (3)
Теперь, исходя из (2) и (3) можно написать:
-@^ = 'y, ddy' ' '
@ L ddy' ';
d L
ddy 'i 2’
@L ddy'2 = (5)
1.4 Переход к формализму Гамильтона
Полученные в (4) и (5) соотношения позволяют нам выбрать канонические координаты и импульсы тремя способами:
q = '' ,p = -', qi = 'i,pi = -i'2, Q2 = '2,P2 = i'i- (6)
Тогда, в терминах ', у' плотность функции Гамильтона выглядит как
H = —pqp + iXq2p + iXqp2, (7)
а в терминах у1,'2, в зависимости от того, что мы выберем координатой, плотность функции Гамильтона представляется как
H = y(q2 - pi - 2iXqi(q2 - pl, (8)
H2 = p(q2 - pl - ‘2XP2(q2 - pl- (9)
Таким образом, у нас в руках есть три различных плотности функции Га­мильтона для одной и той же задачи, но в терминах разных переменных. Рассмотрим классический случай для переменных q2,p2, а затем квантовый случай для q,p. Отдельно заметим, что для q,p гамильтониан уже нормально упорядочен. Также приводятся "наивные"квантования для координат q1,p1 и q2,p2, в обоих случаях оператор координаты есть q = qj, оператор импульса pj = dp, а соответствующий гамильтониан берётся нормально упорядочен­ным.
1.5 Классический случай
Из (9) получим гамильтоновы уравнения движения:
@у = ~2p2 (Р - 2Xp2) - 2X {q2 - pl
@p2 = -2q2 (p - 2Xp2) -
@y
Одним из решений этой системы, очевидно, является
(формула в виде рисунка)
Потенцированием обеих частей второго равенства получим
д 1 + e гл
2Л 1 — е~ 2л
(У u
Заметим также, что p1 — р2, q1(y) — q2 ( — 1. Найдем решение при р — 2^, исходя из закона сохранения энергии. Из (9)
2 E 2
q2 — 0 л + р2,
д - 2Лр2
и из второго уравнения в (10)
— р2
q2 2(д - 2Лр2) ■
Тогда
Й — р2 + ' .
4 (д — 2Лр2) Д — 2ЛР2
откуда
р2 — 4р2 (д - 2Лр2)2 + E (д - 2Лр2) ,
р2 — J4р2 (д - 2Лр2)2 + E (д - 2Лр2),
4р2
4р2 (д - 2Лр2)2 + E (д - 2Лр2)
Таким образом, получаем неявное выражение для р через у, откуда, пользуясь (14) можно получить q. Заметим, что полученный результат согласуется с приведённым в статье [2] результатом для классического предела квантовой теории, полученного в рамках метода Венцеля-Крамерса-Бриллюэна.
1.6 Квантование в терминах 'i,'2« первый способ
Выберем pi — q1,'2 — р1_ и сопоставим им операторы
@
q — qi; р— @q^ (19) с коммутационным соотношением [q,p] = 1, поскольку в нашей теории исполь­зуется мнимое время, а значит, именно такое коммутационнное соотношение обеспечивает возможность писать уравнение Шрёдингера в привычном виде, а именно,
@
—НФ = —Ф. (20)
@У
Также, такое коммутационное соотношение позволяет назвать операторы q и p операторами рождения и уничтожения соответственно. Теперь, используя (8), напишем уравнение Шрёдингера:
E
Ф00 - д — iXq
Найдём асимптотики на бесконечности в виде анзаца
е0^ q X Ckq~k. (22)
k=0
При подстановке анзаца в уравнение получаем асимптотику вида
е±2' q1±1 Xх Ckq-k. (23)
k=0
Асимптотика с растущей экспонентой нам не подходит, так как функция с ней не нормируема на R. Таким образом, мы получаем решение со старшим членом асимптотики на бесконечности типа е~я2
1.7 Квантование в терминах '1,'2: второй способ
Аналогично предыдущему пункту, выберем р2 = q2, '1 = p2; q = q2,p = ,@(- c коммутационным соотношением [q,p] = 1. Используя (9), напишем уравнение Шрёдингера
Ф000 _ Аф00 + д2ф' +(^L E>| ф = о. (24)
2Л +q + V 2Л 2А/ }
Асимптотики решений этого уравнения с помощью анзаца получаются следу­ющими:
е±2'q3 XE Ckq-k, (25)
k=0
e&q El Ckq-k. (26)
k=0
Снова выживает лишь решение с асимптотикой вида е~V, по причинам, ука­занным в 1.6
Купить