В настоящей работе даётся определение квадратичных форм на бимодулях и строится описание всех подгрупп полной линейной группы GL(F), нормализуемых элементарной унитарной группой EU(F), если Р — бимодуль с хотя бы четырьмя гиперболическими ортогональными слагаемыми.
Определение эрмитовых форм на бимодулях было дано достаточно давно, его можно найти в книгах [2] и [6]. В книге Бака [2] также определяются форменные параметры — объекты для описания квадратичной формы в случае гиперболического модуля. История этих определений и понятия, связанные с унитарными группами, написана в статье Бака и Вавилова [4]. В этом контексте описание нормальных подгрупп унитарной группы U(P) было доказано в статье Пройсера [9] (в том варианте, который ближе всего к данной работе), а описание надгрупп (то есть промежуточных подгрупп между U(P) и GL(P)) — в статье Петрова [7].
В работе Петрова [1] были определены нечётные форменные параметры, позволяющие определить квадратичные формы на произвольных правых модулях с эрмитовой формой. Также существует статья Бака и Пройсера [5], в котором описываются подгруппы унитарной группы U(P) в случае нечётного эрмитова модуля Р, то есть такого эрмитова модуля, в котором есть много ортогональных слагаемых, изоморфных гиперболическим плоскостям. Над коммутативным кольцом подобное описание (с относительно коротким доказательством) опубликовано в препринте [8].
В данной работе определяются квадратичные формы на бимодулях достаточно общего вида, что обобщает определение Петрова из [1] и позволяет построить бикатегорию эрмитовых бимодулей с квадратичными формами qBim. Описание всех подгрупп GL(P), нормализуемых EU(P), является частичным обобщением обоих результатов из [9] и [7]. Точная формулировка основного результата приведена ниже (все необходимые определения приведены в основном тексте).
Теорема. Пусть К — коммутативное кольцо с инволюцией, S и R — квадратичные К-алгебры и Р — квадратичный S-R-бимодуль, чья эрмитова форма невырожденная. Предположим, что End(F) квази- конечная К-алгебра, Р = Р0 ± Н(Р1) ± ... Н(Р/), где I 4, причём End(Fo) порождено менее, чем 4J? элементами как К-модуль и для всех i,j Е {—I, • • •, —1,1,..., 1} бимодуль Pi изоморфен прямому слагаемому в Р^ при достаточно большом N (где P~i = P-v при i > О/ Тогда существуют некоторые явно описываемые уровни L и группы EU(P, Р), GU(P, [L) < GL(P) такие, что все подгруппы G < GL(P), нормализуемые EU(P), удовлетворяют неравенствам EU(P, L) < G < GU(F, [L) для единственного уровня L. Наоборот, все группы, удовлетворяющие одному из таких неравенств, нормализуются EU(F).
Таким образом, в работе доказана классификация всех подгрупп GL(F), нормализуемых элементарной унитарной группой EU(F) в терминах уровней (теорема 2). Если вместо всех подгрупп GL(F) ограничиваться только подгруппами GU(F), нормализуемыми EU(F), или промежуточными подгруппами вида EU(F) G GL(F), то получаются классификации, частично обобщающие результаты из статей [5, 7].
