1. Введение 3
2. Теоретическое описание 4
2.1. Обозначения 4
2.2. Сведения из теории С*—алгебр 4
2.3. Спектр алгебр 5
2.4. Вспомогательные утверждения 8
3. Волны на графе 12
3.1. Граф 12
3.2. Распространение волн. Гидра. Форма волны 12
3.3. Разбиение гидры 15
3.4. Амплитудные векторы 16
3.5. Проекторы 19
3.6. Эйконалы 20
3.7. Алгебра эйконалов 21
4. Алгебра эйконалов для конкретного графа 21
4.1. Простейший граф 21
4.2. Случай T1 21
4.3. Случай Т2 24
4.4. Случай Т 28
4.5. Случай Т4 34
Литература 43
Обратные задачи на графе - современный развивающийся раздел математической физики. Важный класс задач относится к определению структуры графа по граничным спектральным и динамическим данным. Алгебра эйконалов (АЭ) на метрическом графе введена в статье [1] в качестве перспективного средства для решения этого класса задач. В ней установлено, что АЭ имеет блочную структуру, характер которой связан с геометрией графа. Эта связь, однако, имеет весьма сложный и неявный характер и извлечение информации о геометрии графа из АЭ остается главной проблемой.
Цель данной работы состоит в исследовании АЭ для графа простой структуры: трехлучевой звезды с ребрами разной длины. Мы показываем, что что сами блоки, составляющие АЭ, имеют "тонкую структуру" и содержат стандартные алгебры вида C([a,b],Mn). Описывается эволюция структуры АЭ в зависимости от времени наблюдения. Отмечен интересный эффект - появление кластера в спектре АЭ, отвечающего наложению волн от разных граничных вершин во внутренней вершине графа.
Автор приносит благодарность своему научному руководителю М.И.Белишеву за постановку задачи и помощь в работе.
Цель, достигнутая в данной работе, заключалась в исследовании алгебры эйконалов для графа простой структуры: трёхлучевой звезды с ребрами разной длины. Во время её изучения продемонстрировано, что сами блоки, составляющие АЭ, имеют "тонкую структуру", содержат стандартные алгебры вида C([a,b],Mn). Описывается эволюция структуры АЭ в зависимости от времени наблюдения. Отмечен интересный эффект - появление кластера в спектре АЭ, отвечающего наложению волн от разных граничных вершин во внутренней вершине графа.
