Нормальные формы двумерных однородных кубических систем с общим множителем второй степени

Аннотация 3
1. Введение
1.1. Постановка задачи 2
1.2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем 4
1.3. Структурные формы 5
1.4. Нормированные структурные формы и допустимые множества 6
2. Однородные кубические системы с квадратичным общим множителем
2.1. Запись и линейная эквивалентность систем при l = 2 9
2.2. Список NSFm’2 10
2.3. Девять классов эквивалентности однородных кубических систем 13
2.4. Построение CFm’2 при нулевом дискриминанте ₽2 14
2.5. Построение CFm>2 при положительном дискриминанте ₽2 18
2.6. Построение CFm’2 при отрицательном дискриминанте P0 23
2.6.1. Выделение NSFm,2,< 23
2.6.2. Случай D > 0 24
2.6.3. Случай D < 0 27
2.6.4. Выделение mcsm,2,< 35
2.7. Канонические формы и канонические множества при l = 2 36
3. Заключение 38
Список литературы 38
Купить

1.1. Постановка задачи.
Рассматриваем вещественную двумерную однородную кубическую систему ОДУ
x = P (x),(1.1)
где x=x1|Pi(x)/ a1x3+ b1x2x2 + c1x1x2+d1x3
x2pP2(x)Jya2x3+ b2x1 x2 + 02x1x2+^x2
Пусть вещественная неособая линейная замена
x = Ly (det L = 0)(1.2)
преобразует (1.1) в систему
y = рУ)(pi = aiy3 + ~У2У2 + ~iyiy22 + ~у23; г = 1,2).(1.3)
В работе [1] поставлена задача определения и конструктивного построения кубических нормальных форм (1.3) из системы (1.1) посредством замен (1.2). Для этого требуется осуществить классификацию множества систем (1.1) путем разбиения векторных многочленов P(x) на классы линейной эквивалентности. Основные линейные инварианты получены [1,2.].
В [1,1.2-1.4] всесторонне изучены проблемы, возникающие при нормализации возмущенных систем с многочленами P в невозмущенной части, и выяснены условия, при которых они минимизируются. На основании проведенных исследований для каждого класса эквивалентности в [2,1.] разработаны структурные и нормировочные принципы, позволяющие вполне упорядочить многочлены Р, получаемые в результате замены (1.2), и, тем самым, теоретически выделить в каждом классе образующую - самый простой векторный многочлен р, называемый канонической формой (КФ).
Оказалось, что любую КФ можно отождествить с матрицей коэффициентов многочлена р, расположение нулевых элементов в которой фиксировано, а для ненулевых должны быть указаны канонические множества, описывающие их допустимые значения. Систему с КФ в правой части естественно называть кубической нормальной формой.
Наряду с задачей практического нахождения всех КФ в [1,1.1] были поставлены также четыре дополняющие ее технические вычислительные задачи, позволяющие эффективно использовать разработанную классификацию на практике. Они заключаются в том, чтобы для каждой КФ в явном виде выписать:
a) условия на коэффициенты векторного многочлена P (x);
b) замену (1.2), преобразующую P(x) при указанных условиях в выбранную КФ;
c) получаемые при этом значения элементов КФ из канонического множества;
d) минимальное каноническое множество, в котором отсутствуют те значения элементов, от которых можно избавиться заменой (1.2), сохраняющей структуру КФ.
В [2, 2.] все поставленные задачи решены в случае, когда многочлены P1 и P2 про-порциональны, т. е. имеют общий множитель третьей степени.
Цель предлагаемой работы заключается в получении аналогичных результатов для случая, когда P1 и P2 обладают квадратичным общим множителем.
Следует иметь в виду, что большое количество символьных вычислений, связанных со всевозможными линейными преобразованиями однородных кубических систем, их нормировкой и выделением общего множителя, а также с решением различных алгебраических систем и уравнений, высоких степеней с параметрами невозможно без применения символьной математики. Для этих целей используется аналитический пакет Maple, в нем был написан набор стандартных процедур, используя которые для доказательства практически каждого утверждения были созданы соответствующие программы. С написанными программами можно ознакомиться в [3,3.].
В работе [1,1.] также можно найти более подробную постановку задачи, включающую в себя:
1) вывод связующей системы для возмущенных систем, зависящей исключительно от коэффициентом многочлена P, и выделение тех групп коэффициентов P, обнуление которых облегчает решение связующей системы, а значит, позволяет осознанно сформулировать структурные и нормировочные принципы, положенные в основу классификации систем (1.1), и выделить в линейно эквивалентных классах систем простейшие: те, правые части которых образуют канонические формы;
2) описание метода резонансных уравнений, позволяющего для возмущенных систем с какой-либо КФ в невозмущенной части дать конструктивное определение обобщенной нормальной формы с очевидным доказательством ее существования и выписать в явном виде все возможные структуры обобщенных нормальных форм, разумеется только для тех КФ, для которых удается решить связующую систему или хотя бы выписать резонансные уравнения, гарантирующие ее совместность;
3) обсуждение проблем и имеющихся результатов в близких по постановке задачах, когда в системе (1.1) рассматриваются квазиоднородные векторные многочлены P(x) с определенными весами переменных или когда степени многочленов P1 и Р2 принимают всевозможные значения от единицы до трех.
Остановимся в заключение на структуре предлагаемой работы.
В следующих разделах Введения приведены необходимые для дальнейшего определения и результаты, полученные в работах [1,2.] и [2,1.]. Разумеется, их более подробное изложение с приведением большого числа поясняющих примеров следует смотреть в указанных работах.
Основным в настоящей работе является Раздел 2, посвященный случаю, когда многочлены Pi, Р2 системы (1.1) имеют вещественный общий множитель степени два.
В 2.1-2.3 предложена удобная форма записи системы при l = 2, позволяющая разбить все множество систем на девять классов линейной эквивалентности, и приведен полный список нормированных структурных форм с допустимыми множествами.
В 2.4-2.6 последовательно рассматриваются случаи, когда дискриминант D0 квадратичного общего множителя Po больше, равен и меньше нуля. Для каждого знака различными способами удается выделить канонические формы с каноническими и минимальными множествами и доказать теоремы о приведении к ним исходной системы. В 2.7 собраны в единый список все полученные для случая l = 2 канонические формы.
Также в Разделе 2 в соответствующих местах имеются ссылки на сопутствующие программы из приложения в работе [3].
Данная работа является продолжением и содержит результат бакалаврской выпускной работы, в которой был рассмотрен случай Do > 0.
1.2. Линейная эквивалентность однородных кубических систем.
Рассмотрим вещественную двумерную однородную кубическую систему
x = Р(x) или x = Aq[3](x),
(Pi/ a1x3 + b1x2x2+ c1x1x2 + dix3.(АЛ I a1b1c1
pj Д . ' + b2x?x2+ C2xixi + d2x>)’ A= (.A J Д «2'-C,
x = colon (x1, x2), q[3](x) = colon (x3, x2x2, x1x2, x2), причем строки A1, Р2 = 0.
Соглашение 1.1. В дальнейшем для краткости матрицу коэффициентов А будем, отождествлять с системой (1.4) или говорить, что А порождает систему (1.4).
Определение 1.1. Любой однородный многочлен с вещественными коэффициентами, являющийся общим множителем Р1 и Р2, будем, обозначать Р0. Общий множитель Р0 максимальной степени l (l = 1,2, 3) будем, обознач,ать Р0. При отсутствии общего множителя будем, считать, что l = 0.
Установить наличие или отсутствие общего множителя у любых двух многочленов позволяет функция R = R(P1, Р2), называемая результантом:
(1-4)
did2
riSiГ2 S2
= riS2 - r2Si.
«1
bi
ci
di
0
0
0
«i
bi
ci
di
0
0
0
«i
bi
ci
di
«2
b2
c2
d2
0
0
0
«2
b2
c2
d2
0
0
0
«2
b2
c2
d2
= d3d + Ал,; + dabdbd — 2dabdaddcd ~ dabdbcdcd ~ dacdaddbd.
Утверждение 1.1. Многочлены Р1,Р2 имеют вещественный общий м,ножител,ь Р0 ненулевой степени тогда, и только тогда, когда R^^A = 0.Для упрощения системы (1.4) будем использовать линейные неособые замены
xi = ri yi + Siy2 x2 = r2 У1 + в2У2
или x = Ly, L = | 1 81 | , 6 = det L = 0.Г2 S2 J
(1.5)
Пусть замена (1.5) преобразует систему (1.4) в систему
где Р =
у = Р(У) яли y = р q[3](y);(1.6)РА =I «1У1 + Ь1У1У2 + Ciyiу2+diyAр = pi~iCidiР2/«2У3 + ~2У2У2 + С2У1У2+<~2У3/р2~2C2<~2Для многочленов Ръ Р2 по аналоги и с R введем результант R = R(p1, Р2).
В [1, 2.2] для системы (1.6) получены следующие формулы
P(y) = L~^ (Ly) = L-1 Aq[3](Ly),
R = 66R,
Sid @P (r)+ 826 @P
(r)
9ri s— SidQP(r) r
Qri
7 s @r2— 826 QP(r)
r @r2 Г
(1.7)
Для векторов r =
введем функцию drs
R =
Р = d 1
rid QP (s) s + r2d QP (s) s
QsiQs2— rid QP (s) r — r2d QP
(s) r
QsiQs2
5
замен (1.5), преобразующих (1.4) в (1.6), выделим две специальные замены:
Среди
ri 0
0 д / air2- нормировка, А =3S2a2r3/S2
biriS2b2ri
Cis2C2riS2
dis3/rA ;d2S2 I '
(1.8)
1I - перенумерация, A =
d2di
С2Ь2Ci bi
a2ai
(1.9)
Замечание 1.1. Нормировка (1.8) имеет следующие особенности:
1) назовем a2, bi, c2, di элементами нечетного зигзага, ai, b2, ci, d2 - четного, тогда у всех элементов нечетного зигзага можно одновременно изменить знак, а у любого элемента из четного зигзага знак изменить нельзя;
2) любое из отношений ai/b2, bi/c2, ci/d2 на диагоналях изменить нельзя.
Замечание 1.2. Если в системе, полученной после замены L = (r, s), потребуется перенумерация, то нужно в исходной системе сразу сделать замену L = (s,r).
В то же время перенумерация (1.9) позволяет договориться о следующем.
Соглашение 1.2. В дальнейшем, не уменьшая общности, будем, считать, что в системе (1.4) при l = 1, 2, 3,
222222ai~ia2и, сСе/ьи, ai~ia2~icti~iu>2 o.
(1.10)
1.3. Структурные формы.
Базовым понятием развиваемой теории является понятие структурной формы.
Определение 1.2. Вещественную матрицу A = (
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
) с ненулевыми строками будем называть объединенной структурой м-формой (м=2, 8) и обозначать USFm (united strucural form), если какие-либо м ее элементов отличны от нуля, а остальные равны нулю. Конечное множество, объединяющее все USFm, будем обозначать SUSFm (set of USFm)
Очевидно, что объединенные структуры м-формы отличаются одна от другой различным расположением мест для ненулевых элементов.
В дальнейшем для краткости любую USFm можно будет записывать по строкам, указывая в каждой только ненулевые элементы, напр., |a1 0 c1 0 0 0 0 d2| = (a1, c1; d2).
Рассмотрим всевозможные расстановки ненулевых элементов в SUSFm (м = 2, 8).
Определение 1.3. Индексом, элемента aij (г = 1, 2; j = 1, 2, 3, 4) матрицы, A будем, называть число, стоящее на месте (г, j) в матрице (1 2 3 4 4321). В свою очередь, индексом, k матрицы A будем, называть сумму индексов ненулевых элементов A и при необходимости писать A[k]. Аналогично вводятся, индексы, строк Ai и A2.В [2, 1.1] должным образом введены структурные принципы (СП), позволяющие вполне упорядочить конечное множество SUSF = UX=2 SUSFm и, в том числе, все входящие в него пары USFт, получаемые друг из друга при перенумерации (1.9).
Определение 1.4. Из двух различных объединенных структурных m-форм, получаемых друг из друга, перенумерацией, форм,у, являющуюся согласно СП предшествующей, будем, называть структурной т-форм,ой, при желании добавляя, основная, и обозначать SF™, а, другую - дополнительной и обозначать SF^ (additional SF).
Очевидно, что имеется также определенное количество "симметричных" структурных m-форм, т.е. таких SFm, которые не изменяются в ходе перенумерации (1.9).
Поскольку любая пара, состоящая из основной и дополнительной структурных форм линейно эквивалентна, то "худшая" с точки зрения СП дополнительная форма самостоятельного интереса не представляет, но использовать ее иногда будет удобно.
Соглашение 1.3. Согласно введенной упорядоченности сопоставим, любой основной структурной m-форме порядковый ном,ер i и будем, обозначать ее SF™, а, дополнительную к ней структурную форм,у - SF™.
В [2, 1.1] приведен Список 1.1, состоящий из 120 упорядоченных структурных форм, входящих в SUSF.
Определение 1.5. Представителем произвольной SF™ будем, называть любую числовую матрицу, структура, нулей которой совпадает со структурой SF™.
Итак, любую SF™ можно трактовать как совокупность всех ее представителей.
Важная характеристика SF™ связана с определением всех возможных значений максимальной степени общего множителя P0 (см.опр. 1.1), который можно выносить в правой части порожденной этой структурной формой системы (1.4) при различных значениях ненулевых коэффициентов. Поэтому множество вещественных ненулевых значений элементов любой SF™ разобьем на непустые множества в™’1 (0 < l < 3) следующим образом: s™’1 содержит те и только те значения элементов SF™, при которых в правой части системы (1.4), порожденной этой формой, можно вынести общий множитель Р(.
Определение 1.6. Для, любой SF™, задаваемой матрицей А, за,пись SF™’1 означает ту же матрицу А, ш значение ее ненулеемж элементов принадлежат в™’1 = 0.
Иными словами, SF?™’1 0^еданяет тех и только тех представителей SF™, чьи элементы принадлежат в, , или, что то же самое, SF, порождает только такие системы, правые части которых имеют общий множитель максимальной степени l.
Из определения (1.6) и теоремы 2.3 [1,2.6] вытекает следующее утверждение.
Утверждение 1.2. SF™’11 линейно не эквивалентна SF™’;2 пр и 11 = 12, т. е. любые два, представителя, SF™’11 и SF™,12 линейно не эквивалентны.
Если SF™ имеет только одно множество в™,1° = 0, то, очевидно, SF™,1° = SF™.
1.4. Нормированные структурные формы и допустимые множества.
Следующим шагом на пути к определению канонической формы станет введение понятия нормированной структурной формы, основанного на нормировке при помощи замены (1.8) всех представителей SF™’1 с целью получения на двух, как правило (см. зам. 1.1), должным образом выбранных местах единичных по модулю элементов.
В [2, 1.2] приведены нормировочные принципы (НП) выбора нормируемых элементов матрицы А, позволяющие осуществить нормировку любой из 120 SF™, т.е. однозначно выбрать в ней места для нормируемых элементов и значения, которые должны получить элементы на этих местах после нормировки. При этом нормирующая замена (1.8) определяется однозначно для всех SF, кроме SF2’2 и SF2’2, для которых элемент s2 в замене произволен и может быть выбран, например, единицей (см. зам. 1.1).
Итак, представители любой SF™’1 (числовые матрицы заданной структуры с элементами из s ) разбиваются на классы эквивалентности относительно нормирующих замен (1.8), а в качестве образующих берутся нормированные представители.
Определение 1.7. SF™’1 будем называть нормированной структурной формой и обозначать NSF™’1 (normalized SF), если она объединяет только своих нормированных в соответствии с НП представителей.
Соглашение 1.4. Любую нормированную структурную форму A будем, записывать в виде аБ, где вынесенный из матрицы A множитель а равен знаку первого нормированного элемента. Оставшиеся ненормированными ненулевые элементы матрицы Б, если таковые имеются, будем, должным образом, выражать через переменные, называемые в дальнейшем параметрами NSF и функции от них. Также при необходимости будем, записывать NSF как функцию от своих параметров.
Тем самым, параметры NSF, обозначаемые u, v, w,... , всегда предполагаются отличными от нуля. Например,1Ьх7= Nbr7 (a,u,v)= а II, но при этом v = u, иначе m = 5.
Соглашение 1.4 позволяет в матрице Б, используемой в дальнейшем для нормализации возмущенных систем, получить максимальное количество единиц, а множитель а, если он окажется отрицательным, заменой времени можно сделать равным единице.
Так, SF22’1 = (a1; c2) заменой (1.8) может быть сведена к NSF2’1 = а с а = sign a1. Здесь нормируемые элементы расположены на разных зигзагах, и согласно замечанию 1.1 на знак элемента из четного зигзага повлиять невозможно, поэтому он выносится в виде множителя а. А знак нормируемого элемента из нечетного зигзага всегда можно сделать равным а, что и требуется в НП.
Определение 1.8. Если все ненулевые элементы SF™’1 расположены, только на одном, из зигзагов, из-за, чего второй нормированный элемент в матрице Б при его наличии может равняться как единице, так и минус единице (будем, обозначать его н), то получаемую NSF будем называть двойственной и обозначать NSFm1.
Отметим, что для NSF™’1 по сравнению с SF™’1 существенно облегчается практическое написание условий, фиксирующих максимальную степень l общего множителя.
Так, NSF7 = а ^u V W 1^ еСТЬ NSF75’2 при — v, w = u; NSF5’1 при w = v — u; NSF7’°, если не выполняются перечисленные выше ограничения на параметры.
Определение 1.9. Значения параметров, при которых определена произвольная NSF™’1, будем называть допустимыми. Объединение допустимых значений параметров для, каждой из форм, будем, называть допустимым множеством и обозначать PST'’1 (permissible set). Допустимое множество будем называть тривиальным и обозначать tps™;1 (trivial ps), если входящие в него параметры ограничений не имеют.
1.5. Канонические множества и канонические формы. Итак, рассмотрим произвольную NSF™’1 матрицу, имеющую m ненулевых элементов с заданным расположением, фиксирующим i - ее порядковый номер в SUSFm согласно введенным СП. Наконец, l - это степень общего множителя P0, который выносится из правой части системы, порожденной любым представителем NSF™’1. Согласно утверждению 1.2 l инвариантна относительно линейных неособых замен.
Отметим, что получение нормированных структурных форм - это формальная работа, требующая только нормировки (1.8), т. е. замены, не затрагивающей структуры порождающей эти формы матрицы A.
Теперь же станем упрощать NSF™’1, сводя их посредством подходящих линейных неособых замен (1.5) при определенных значениях параметров из ps™’1 к предшествующим структурным формам, т. е. к SFj'J с n < m II. III с j < i при n = m.
В связи с этим следует иметь в виду следующие два соображения.
С одной стороны, практически каждая NSF™’1 может сводиться к предшествующим SF™’1, т. е. имеет "лишних" представителей, линейно эквивалентных каким-либо представителям предшествующих форм. Значения параметров, допускающие таких представителей, надо удалять из 'ps™’1.
С другой стороны, те NSF™’1, которые при всех допустимых значениях своих параметров линейно эквивалентны каким-либо предшествующим формам, самостоятельного интереса не представляют, поскольку не могут выступать в роли "простейших".
Определение 1.10. Непустое множество, содержащее те и только те значения rn,lтт1™’! параметров из ps^ , при которых NSF линейно не эквивалентна никакой предшествующей SF, будем называть каноническим и обозначать cs™’1 (canonical set).
Определение 1.11. Любую NSF™’1 будем называть канонической формой и обозначать CF™’1 (canonical form), если ее параметры принадлежат cs™’1.
Таким образом, матрицы CF™’1 и NSF™’1 выглядят одинаково, но параметры CF™’1 принадлежат cs™’1 - это 'ps™’1, из которого удалены те значения, параметров при которых представители NSF™’1 заменами (1.5) сводятся к предшествующим SF.
Утверждение 1.3. Любые две канонические формы линейно не эквивалентны.
Это очевидное утверждение означает, что никакие два представителя различных CF или, что то же самое, никакие две системы (1.4), порожденные соответствующими числовыми матрицами, не могут быть связаны линейной неособой заменой.
В ряде случаев канонические множества параметров удается дополнительно ограничить при помощи линейных замен, преобразующих CF в себя.
Определение 1.12. Каноническое множество любой CF™’1 будем называть минимальным и обозначать mcs™’1 (minimal cs), если найдена линейная неособая замена, ТЛП’1™,1 преобразующая CFi ’ в себя и позволяющая ограничить значения, элементов cs^ , а именно, если это возможно, то хотя, бы, один из неединичных элементов получен ограниченным, сверху и (или) снизу и (или) зафиксирован зна,к м,ножител,я, а.
Таким образом, если CF™’1 не содержит параметров или их невозможно ограничить, то автоматически cs ™’1 = mcs™’1, т. е. является минимальным.
Определение 1.13. Множество, содержащее те значения параметров из cs ™’1, от которых удается, избавиться при помощи линейных неособых замен, переводящих CF™’1 в себя, будем называть дополнительным и обозначать acs™’1 (additional cs).
Тем самым, mcs™’1 = cs™’lacs™’1.
Соглашение 1.5. В дальнейшем: 1) Запись “... ( = [ &1 V v1 ] ... ц = [ &2 V V2 ] ... ” будет означать, что или ( = Q, ц = &2, или ( = V1, ц = V2; 2) условие, заключенное в круглые скобки и записанное после другого условия, не является, требованием,, а, приводится в качестве напоминания для, лучшего восприятия последующих рассуждений; 3) в формулировках результатов отличие от нуля, выражений, стоящих в знаменателе, не является предположением,, а, устанавливается, в ходе доказательства.
Купить