Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 5
Глава 1. Предварительные сведения 7
Глава 2. Основной результат 9
2.1. Производная функционала v0 вдоль решений возмущённой системы 9
2.2. I способ 13
2.3. II способ 21
2.4. Обобщение результата. Теорема 25
Глава 3. Примеры 26
3.1. Пример 1 26
3.2. Пример 2 27
3.3. Пример 3. Итерационный метод 28
Выводы 32
Заключение 33
Список литературы 34
Исследование устойчивости систем дифференциальных уравнений с запаздыванием является частью многих прикладных задач. Одним из основных методов такого исследования является метод функционалов Ляпунова-Красовского. В частности, известны так называемые функционалы с заданной производной [1], для которых заранее задаётся производная в виде отрицательно-определённой квадратичной формы или квадратичного функционала, а затем строится сам функционал, имеющий данную производную вдоль решений исследуемой системы. Далее проверяется положительная определённость построенного функционала. Ключевым элементом функционалов с заданной производной является матрица Ляпунова.
Метод функционалов Ляпунова - Красовского используется для решения задачи о робастной устойчивости. В классической постановке задачи необходимо определить области допустимых значений возмущений, при которых возмущённая система сохраняет устойчивость, в предположении об экспоненциальной устойчивости номинальной системы.
Существует два способа применения функционалов с заданной производной для решения задач о робастной устойчивости. В первом из них используется функционал полного типа [2, 3, 4], а во втором — функционал, производная которого вдоль решений невозмущённой системы задана в виде отрицательно-определённой квадратичной формы [5, 6].
Практика показывает, что наличие возмущений в запаздываниях делает второй подход к решению задачи о робастной устойчивости более эффективным. Целью данной работы является распространение второго подхода на случай присутствия возмущений одновременно в запаздываниях и в коэффициентах возмущённой системы.
В работе получены новые условия робастной устойчивости для линейных стационарных систем, содержащих возмущения одновременно в запаздываниях и в матрицах. Применение этих условий к построению оценок областей устойчивости системы (2) в плоскости возмущений проиллюстрировано на примерах. На примере скалярного уравнения с одним запаздыванием реализован итерационный метод применения полученных условий. Кроме того, полученные условия устойчивости могут быть распространены на класс систем c распределённым запаздыванием и несколькими сосредоточенными запаздываниями, а также на случай нестационарных возмущений.
