Анализ робастной устойчивости линейных систем с запаздыванием: неопределённости в запаздываниях и коэффициентах

Содержание

Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 5
Глава 1. Предварительные сведения 7
Глава 2. Основной результат 9
2.1. Производная функционала v0 вдоль решений возмущённой системы 9
2.2. I способ 13
2.3. II способ 21
2.4. Обобщение результата. Теорема 25
Глава 3. Примеры 26
3.1. Пример 1 26
3.2. Пример 2 27
3.3. Пример 3. Итерационный метод 28
Выводы 32
Заключение 33
Список литературы 34

Введение

Исследование устойчивости систем дифференциальных уравнений с запаздыванием является частью многих прикладных задач. Одним из основных методов такого исследования является метод функционалов Ляпунова-Красовского. В частности, известны так называемые функционалы с заданной производной [1], для которых заранее задаётся производная в виде отрицательно-определённой квадратичной формы или квадратичного функционала, а затем строится сам функционал, имеющий данную производную вдоль решений исследуемой системы. Далее проверяется положительная определённость построенного функционала. Ключевым элементом функционалов с заданной производной является матрица Ляпунова.
Метод функционалов Ляпунова - Красовского используется для решения задачи о робастной устойчивости. В классической постановке задачи необходимо определить области допустимых значений возмущений, при которых возмущённая система сохраняет устойчивость, в предположении об экспоненциальной устойчивости номинальной системы.
Существует два способа применения функционалов с заданной производной для решения задач о робастной устойчивости. В первом из них используется функционал полного типа [2, 3, 4], а во втором — функционал, производная которого вдоль решений невозмущённой системы задана в виде отрицательно-определённой квадратичной формы [5, 6].
Практика показывает, что наличие возмущений в запаздываниях делает второй подход к решению задачи о робастной устойчивости более эффективным. Целью данной работы является распространение второго подхода на случай присутствия возмущений одновременно в запаздываниях и в коэффициентах возмущённой системы.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании работ!

ДИПЛОМНЫЕ МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

КУРСОВЫЕ СТАТЬИ ВКР

Заключение

В работе получены новые условия робастной устойчивости для линейных стационарных систем, содержащих возмущения одновременно в запаздываниях и в матрицах. Применение этих условий к построению оценок областей устойчивости системы (2) в плоскости возмущений проиллюстрировано на примерах. На примере скалярного уравнения с одним запаздыванием реализован итерационный метод применения полученных условий. Кроме того, полученные условия устойчивости могут быть распространены на класс систем c распределённым запаздыванием и несколькими сосредоточенными запаздываниями, а также на случай нестационарных возмущений.

Литература

[1] Kharitonov V. L. Time-delay systems: Lyapunov functionals and matrices. Basel: Birkhauser, 2013. 311 p.
[2] Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica. 2003. No 39. P. 15-20.
[3] Kharitonov V. L., Niculescu S.-I. On the stability of linear systems with uncertain delay // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. Vol. 48. No 1.P, 127-132.
[4] Egorov A. V., Mondie S. The delay Lyapunov matrix in robust stability analysis of time-delay systems // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48. No 12. P. 245-250.
[5] Alexandrova I. V., Zhabko A. P. A new LKF approach to stability analysis of linear systems with uncertain delays // Automatica. 2018. No 91. P. 173-178.
[6] Medvedeva I. V., Zhabko A. P. A novel approach to robust stability analysis of linear time-delay systems // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48. No 12. P. 233-238.
[7] Репин Ю. М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаз-дыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Вып. 3. С. 564-566.
[8] Infante E. F., Castelan W. B. A Liapunov Functional For a Matrix Difference-Differential Equation // Journal of differential equations. 1978. No 29. P. 439-451.
[9] Huang W. Generalization of Liapunov’s Theorem in a Linear Delay System // Journal of mathematical analysis and applications. 1989. No 142. P. 83-94.
[10] Kharitonov V. L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Systems & Control Letters. 2004. No 53. P. 395-405.
[11] Ochoa G., Kharitonov V. L., Mondie S. Critical frequencies and parameters for linear delay systems: A Lyapunov matrix approach // Systems & Control Letters. 2013. No 62. P. 781-790.
[12] Gomez M. A., Egorov A. V., Mondie S. Lyapunov matrix based necessary and sufficient stability condition by finite number of mathematical operations for retarded type systems // Automatica. 2019. Vol. 108. No 108475.
[13] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
[14] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. II. 800 c.
[15] Alexandrova I. V. New robustness bounds for neutral type delay systems via functionals with prescribed derivative // Applied Mathematics Letters. 2018. No 76. P. 34-39.
...