Введение 3
Постановка задачи 4
Глава 1. Вспомогательные сведения 5
Глава 2. Решение задачи 9
2.1. Первый случай 12
2.2. Второй случай 19
2.3. Третий случай 22
2.4. Четвёртый случай 23
2.5. Функции A(d) и B(d) 28
Заключение 30
Список литературы 31
Задача полиномиальной фильтрации естественным образом возникает во многих задачах прикладной математики. Фильтры в виде полиномов используются для «очистки» входящего сигнала, например, от шума (при анализе электрических сигналов), исключения случайных выбросов (при обработке статистических данных) или уменьшения составляющей шума для дальнейшего анализа изображений.
В данной работе формально поставлена полиномиальная фильтровая задача размерности четыре, приведены требуемые вспомогательные определения и теоретические сведения, исследован вопрос о возможности получения решения рассматриваемой задачи в явном аналитическом виде.
Все вычисления были проведены в программном пакете Maple. С помощью математической программы Geogebra были получены графики и анимации, которые являются геометрической иллюстрацией задачи.
В данной работе поставлена и исследована полиномиальная фильтровая задача при n = 4, где n — степень искомого полинома. В ходе анализа исходная задача была сведена к рассмотрению четырёх возможных случаев расположения точек локального экстремума, для двух из которых задачу удалось полностью решить, в то время как для двух других удалось реализовать только первый этап решения.
С помощью программного пакета GeoGebra построены три анимированных графика. Два из них иллюстрируют изменение оптимального полинома в зависимости от параметра A для первого и четвёртого случая соответственно, третий — изменение оптимального полинома в зависимости от параметра d для всех случаев.
В силу особенностей поставленной задачи, полученные результаты не представляется возможным обобщить на случай более высокой степени фильтровой задачи.
Следует отметить, что данная задача имеет взаимосвязь со второй задачей Золотарёва [10, 11].
