Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
1 Описание модели кроветворения 8
1.1 Общие положения 8
1.1.1 Биологический фундамент модели Мэкки-Гласса 8
1.1.2 Математическое описание 10
1.2 Необходимые теоретические сведения 12
1.2.1 Основные теоремы и методы теории устойчивости 12
1.2.2 Описание метода полиномизации 13
2 Численные методы 15
2.1 Явные методы Рунге-Кутты 15
2.2 Метод Рунге-Кутты 4го порядка, реализация 16
3 Исследование уравнения 18
3.1 Определение областей устойчивости модели Мэкки-Гласса для стационарных решений 18
3.2 Полиномизация нелинейности 20
Выводы 25
Заключение 26
Список литературы 27
ПРИЛОЖЕНИЕ А 29
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 34
ПРИЛОЖЕНИЕ В 35
Прогнозирование данных об изменении значений каких-либо параметров исследуемого процесса (так называемых временных рядов), которые измерялись в определенные моменты времени, играет существенную роль в таких областях как, например, инженерия, биология, физика, медицина, экология. Наибольший интерес для научного сообщества представляет анализ и прогнозирование хаотических временных рядов, в частности, благодаря их динамическим свойствам. Такие системы обычно представляют собой дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, поскольку прогнозирование рядов динамики включает в себя предсказание будущих событий, основываясь на результатах, которые были получены ранее. Таким образом, исследования моделей с запаздыванием весьма актуальны и представляют существенный практический интерес. Одним из стандартных примеров является модель кроветворения Мэкки-Гласса.
Актуальность выбранной темы обусловлена значимостью данной модели в области биомедицины. Модель Мэкки-Гласса описывает циркуляцию подвида лейкоцитов в организме, которые в свою очередь являются основой иммунной системы человека, а также иллюстрирует возникновение сложной динамики в системах физиологического управления посредством бифуркаций, вызванных изменением параметров системы - причиной этому может служить наличие заболеваний.
Объектом исследований является модель циркуляции нейтрофилов в крови человека.
Предметом исследований является динамика поведения решений уравнения Мэкки-Гласса.
Для достижения желаемой цели в процессе исследования были задействованы следующие методы: линейная аппроксимация, метод Д-разбиения, численные методы, полиномизация нелинейной части уравнения.
Выпускная квалификационная работа состоит из следующих частей: введение, постановка цели и задач, обзор литературы, основная часть, состоящая из трех глав, заключение, список используемой литературы и приложения. В первой главе приведена математическая модель, описан биологический фундамент, на основе которого она была построена, а также рассматривается теоретическая составляющая используемых в работе методов. Вторая глава посвящена построению решения исследуемого дифференциального уравнения при помощи метода Рунге-Кутты. В третьей главе описан процесс нахождения области устойчивости для стационарных решений, а также рассматривается метод полиномизации уравнения Мэкки-Гласса.
Таким образом, в данной работе представлен анализ уравнения Мэкки- Гласса. На основе вводимых данных графически показано приближенное решение уравнения. Определена и визуально представлена область устойчивости стационарных решений, а также показана возможность приведения уравнения Мэкки-Гласса к полиномиальной системе уравнений.
Фундаментом иммунной системы человека являются белые клетки крови, количественное изменение и циркуляцию которых описывает модель Мэкки-Гласса. Повышение или понижение числа нейтрофилов в крови может привести к серьезным заболеваниям, например, таким как нейтрофилия и нейтропения соответственно, которые при отсутствии своевременного лечения могут перерасти в лейкоз. В связи с этим, исследование модели кроветворения является крайне актуальной темой в сфере биомедицины.
Модель Мэкки-Гласса позволяет прогнозировать параметры исследуемого процесса относительно полученных ранее результатов. Но как было показано, уравнение проявляет достаточно сложную хаотическую динамику, а так же был отмечен факт существования у него периодических решений, вследствие этого появляется необходимость в дальнейшем изучении поведения модели, поэтому работа включает в себя определение области устойчивости стационарных решений. Для последующего исследования периодических решений был применен метод фазового пространства, чтобы привести уравнение Мэкки-Гласса к системе дифференциальных уравнений путем введения новых переменных. Это преобразование позволяет применять свойства банаховой алгебры, а так же существующий компьютерный метод доказательства наличия периодических решений, который основан на методе радиусов полиномов (method of radii polynomials) [18]. Таким образом, задачи, поставленные в данной работе, выполнены, а цель достигнута.
В заключении отметим, что практическая значимость данного исследования состоит в том, что на основе реализации численного метода была составлена программа нахождения приближенного решения уравнения Мэкки- Гласса. Ранее подобные результаты были получены путем использования электронных схем, что является более трудоемким способом. Так же знание области устойчивости играет немаловажную роль в медицинских исследованиях, необходимых для выявления патологий и различных заболеваний.
