Тема: Параметрическое исследование динамических систем с использованием систем компьютерной алгебры

Современная наука стремится не только описать поведение изучаемого объекта, но и научиться предсказывать изменения, которые могут с ним произойти с течением времени. Конечная цель состоит в отыскании некоторого закона, позволяющего по ограниченным входным данным (например, о начальном состоянии объекта и внешним воздействиям) с точностью установить будущее объекта в любой момент времени.
Объекты и процессы, для которых однозначно определено понятие состояния - совокупности некоторых величин в конкретный момент времени, и закон, описывающий их изменение во времени, называются динамическими системами. Такие объекты и процессы встречаются в самых разных областях научного знания: в механике и других разделах физики, в биологии и химии, в сфере вычислительных процессов и обработки информации и многих, многих других [1, 2, 6].
Эволюция динамической системы может быть описана с использованием самых разных математических моделей. Одним из наиболее применимых средств для решения этой задачи являются системы дифференциальных уравнений. Поскольку единого метода получения точного решения систем дифференциальных уравнений не существует, чаще всего прибегают к помощи численных методов решения таких систем. Однако, для разных задач требуются различные методы. Известно, что численные методы, хотя и позволяют решать большинство задач данного вида, но всё же далеки от идеала. Каждый из таких методов обладает методической погрешностью, на которую влиять без изменения метода невозможно, но и это ещё не всё.
Важной проблемой при использовании численных методов решения становится выбор правильного метода. Дело в том, что некоторые совершенно не подходят для определённых задач (например, т.н. «жёсткие» задачи не могут быть решены простыми явными методами численного интегрирования). [10, 11]
Кроме того, современное исследование динамической системы может включать в себя работу с параметрами. Зачастую, исследователю необходимо не просто решить какую-то конкретную систему дифференциальных уравнений, а изучить целое влияние некоторых параметров на её решение, многократно получая решения для различных значений параметров.
Купить

Проведение параметрического исследования динамической системы потребовало изучения основные понятия области динамических систем, а так же разработки программа, позволяющая провести такое исследование для системы, представимой в виде системы двух дифференциальных уравнений с числом параметров до трёх. Проведено параметрическое исследование системы осциллятора Ван дер Поля и определено влияние параметров на эту систему. На основании полученных результатов сделан вывод о полезности проведения параметрического исследования динамической системы в реальных задачах. В дальнейшем работа может быть продолжена в различных направлениях.
1) Усложнение вводимых данных. Возможна разработка программного обеспечения с аналогичными функциями, но для более сложных динамических систем.
2) Упрощение работы с интерфейсом.
3) Реализация более сложных, но более продуктивных алгоритмов решений дифференциальных уравнений.
4) Автоматизация параметрического исследования.
Поведённое исследование позволяет вынести на защиту следующие положения:
1) изучены основные термины, касающиеся динамических систем и методы численного решения дифференциальных уравнений;
2) разработан программный продукт, позволяющий провести параметрическое исследование динамической системы;
3) проведено параметрическое исследование осциллятора Ван дер Поля, доказывающее работоспособность программы.
Купить