Введение 3
Глава 1. Устойчивость линейных систем 8
1.1. Устойчивые компоненты решения неустойчивой системы 8
1.2. Устойчивые компоненты решения неустойчивой системы 8
Глава 2. Поиск собственных чисел как корней характеристи­ческого многочлена 13
2.1. Метод секущих 13
2.2. Метод Мюллера 14
2.3. Алгоритм вычисления характеристических корней 15
Глава 3. Степенные методы 16
3.1. Метод прямых итераций (степенной метод) 16
3.2. Метод обратных итераций 18
3.3. Уточнение собственных чисел через собственные вектора 20
Глава 4. Декомпозиционные методы 21
4.1. QR алгоритм 21
4.2. Декомпозиция Шура (Schur decomposition) и QZ алгоритм 23
4.3. JDQZ алгоритм 23
Глава 5. Сравнение, анализ, вычислительный эксперимент 27
Заключение 29
Список литературы 30
Купить

В данной работе будет рассмотрен вопрос устойчивости линейных си­стем и, в частности, электронных схем. Устойчивости необходима для того, что понимать, прогнозировать и качественно оценивать решение системы.
Одним из наиболее важных и надежных критериев устойчивости си­стемы является нахождение корней характеристического уравнения этой системы, то есть решение проблемы собственных значений.
В случае радиоэлектронной схемы, изначально она описывается нели­нейной системой, и потому сначала проводится процесс линеаризации си­стемы. После такой процедуры получается регулярный пучок матрицР(А) = ХБ — A, который уже можно проверить на устойчивость. И один из самых главных способов такого анализ — решение обобщенной собственной про­блемой пучка матриц.
Обобщенная полная собственная проблема является одной из самых важных задач в анализе устойчивости радиоэлектронных схем.
Решение алгебраической проблемы собственных значений тесно свя­зано с решением системы линейных обыкновенных дифференциальных урав­нений с постоянными коэффициентами. Общая система однородных урав­нений первого порядка с n неизвестными у1,у2, ■ ■ ■ ,yn может быть записана в виде:
Bd (У) = Су, (1)
U/b
где t — независимая переменная, y(t) — искомая вектор-функция решения; В и С — матрицы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Если В — особенная, то левые части системы уравнений связаны линейным соотно­шением. Правые части должны удовлетворять тому же самому соотноше­нию и, следовательно, у^ линейно зависимы. Систему уравнений, поэтому можно привести к системе низшего порядка.
Если В - неособенная, тогда уравнение (1) можно записать в виде (форма Коши, разрешенная относительно вектора производных):
d (у) = Ay, (2)
Lbb
где
A = B-1C
Предположим, что (2) имеет решение вида
У = xeXt; (3)
где х — это вектор, не зависящий от t. Тогда
Xxext = Axext,
и поэтому
Xx = Ax.
Следовательно, уравнение (3) дает решение уравнения (2), если X — собственное значение матрицах А, а х — соответствующий ему собственный вектор.
Если у А имеется г линейно независимых собственных векторов, то мы получим г линейно независимых решений (2), независимо от того, будут ли различны соответствующие собственные значения. Однако, уравнение (2) должно иметь п линейно независимых решений так, что если г < п, т. е. если некоторые элементарные делители А нелинейны, то (2) будет иметь решения не чисто экспоненциального типа.
Если же рассмотреть систему дифференциальных уравнений в обла­сти электронных схем, то ситуация усложняется нелинейностью системы в изначальном виде. И в этом случае матрица В всегда особенная.
В общем случае радиоэлектронная схема описывается нелинейной дифференциальной системой уравнений
B (x) ■dx(t) = Ax(t) + g[x(t)] + f (t), x(t0) = X0, (4)
U/b
где B(x) — матрица при векторе производных, элементы которой могут нелинейно зависеть от х порядка п в зависимости от выбора базиса пере­менных; A — постоянная вещественная матрица коэффициентов порядка n; x(t) — вектор переменных, т.е. искомого решения, порядка n; g[x(f)] — нелинейная вектор-функция, зависящая от x(t); f(t) — вектор воздействий (сигналов); x0 — вектор начальных условий в момент времени t0.
Матрица В(х), как правило, вырождена. Системы уравнений, у кото­рых вырождена матрица при производных, называют либо вырожденными системами, либо дифференциально-алгебраическими системами уравнений (ДАСУ).
В зависимости от способа формирования уравнений и применяемых математических моделей элементов в качестве переменных x(t) могут вы­ступать узловые потенциалы, напряжения на элементах, токи, заряды и потокосцепления.
Разложим нелинейную вектор-функцию g[x(t)] в ряд Тейлора в окрест­ности точки x0 и получим
g[x(t)] = g[xo + J(Х0) x (x(t) - Ж0) + R[x(t)],
где g(x0) - постоянный вещественный вектор значений нелинейной вектор- функции в точке x0 для времени t0; J = J(x0) - постоянная вещественная матрица коэффициентов (матрица Якоби), т.е. матрица первых частных производных вида [с1Д/dxj]: R[x(t)] - остаток ряда Тейлора для старших производных.
Предположим, что элементы матрицы В не зависят от х и она яв­ляется матрицей с постоянными вещественными коэффициентами. В этом случае исходную нелинейную систему можно представить теперь в виде
„, ч d . ч r . „ , ч „ г , _ , . „ „. .
B (x')-j^ x(t) = [A + J ]x(t) + R[x(t)] + g (x0) — Jx0 + f (t).
Обозначим A = A + Jnf*(t) = g(x0) - Jx0 + f(t) и рассмотрим нелинейную ДАСУ
d
B(x)-j^x(t) = Ax(t) + R[x(t)] + f * (t), x(t0) = x0.
Если пренебречь нелинейными членами, т.е. вектором R[x(t)], то мы перейдем к линеаризованной системе уравнений, описывающей решение при таких малых f(t), что можно пренебречь влиянием нелинейностей (так называемый режим малого сигнала).
Как известно, для анализа устойчивости схемы в настоящее время существуют две группы критериев: алгебраические (критерий Ляпунова, Гаусса—Гурвица, Льенара—Шипара и др.) и частотные (критерии Найкви­ста, Михайлова и др.).
Из линеаризованной системы уравнений схемы (5) можно вычленить пару матриц В и А, в операторном виде связанных соотношением
D(p) = pB - A;
где р - параметр (оператор Лапласа).
В теории цепей и систем такую матрицу принято называть оператор­ной матрицей системы, а в теории матриц — пучком матриц.
Определитель данной параметрической матрицы
m
det[pB - A] = ampm + dm-ipm~r + ... + aip + a0 = dm Ц(p - Xi)
ti
является полиномом от оператора Лапласа р и как всякий полином имеет корни Xi. Принято этот полином называть характеристическим полиномом.
Его корни в теории цепей называют собственными частотами схемы, а в теории матриц - собственными значениями пучка матриц.
Порядок характеристического полинома m не превышает размерно­сти системы уравнений п, но если матрица В вырождена, то он обязательно будет меньше порядка системы уравнений.
Устойчивость систем уравнений (4) и (5) зависит от расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. Сами корни могут быть либо вещественными, либо образуют комплексно-сопряженные пары.
Очевидно, собственные числа с положительной вещественной частью будут говорить о неустойчивости системы и подробнее этот вопрос будет рассмотрен в 1 главе.
Таким образом, в этой работе поставлена задача решения обобщен­ной собственной проблемы (поиск чисел и векторов) и выбор для этого наилучшего метода.
Купить