Кристаллические базисы для спиновых цепочек в AdS/CFT соответствии
|
1 Введение 3
2 Кристаллические базисы 6
2.1 Алгебры Ли и их классификация 6
2.2 Корневая система алгебры Ли su(3) 12
2.3 Теория представлений алгебр Ли и тензорное произведение представлений 14
2.4 Квантовые группы 22
2.5 Кристаллические базисы 29
2.6 Разложение тензорного произведения представлений алгебры Ли su(3) 34
3 Спиновые цепочки и алгебраический анзац Бёте 40
3.1 Формализм Лакса 40
3.2 Уравнения Бёте и спектр трансфер-матрицы 44
3.3 Интегралы движения 46
4 Интегрируемость в соответствии N = 4 SYM и теории струн в AdS5 х S1 51
4.1 Необходимые понятия 51
4.2 Соответствие N = 4 SYM и теории струн в AdS5 х S5 57
4.3 Эквивалентность двухточечного коррелятора примарных операторов N = 4 SYM скалярного сектора и Гамильтониана спиновой цепочки 65
4.4 Спектр энергий замкнутой струны в AdS5 х S5 69
4.5 Проверка совпадения спектров в su(3) подсекторе 70
4.6 Программная реализация для кристаллических базисов алгебры Ли su(3) 72
Заключение 79
Список литературы 81
2 Кристаллические базисы 6
2.1 Алгебры Ли и их классификация 6
2.2 Корневая система алгебры Ли su(3) 12
2.3 Теория представлений алгебр Ли и тензорное произведение представлений 14
2.4 Квантовые группы 22
2.5 Кристаллические базисы 29
2.6 Разложение тензорного произведения представлений алгебры Ли su(3) 34
3 Спиновые цепочки и алгебраический анзац Бёте 40
3.1 Формализм Лакса 40
3.2 Уравнения Бёте и спектр трансфер-матрицы 44
3.3 Интегралы движения 46
4 Интегрируемость в соответствии N = 4 SYM и теории струн в AdS5 х S1 51
4.1 Необходимые понятия 51
4.2 Соответствие N = 4 SYM и теории струн в AdS5 х S5 57
4.3 Эквивалентность двухточечного коррелятора примарных операторов N = 4 SYM скалярного сектора и Гамильтониана спиновой цепочки 65
4.4 Спектр энергий замкнутой струны в AdS5 х S5 69
4.5 Проверка совпадения спектров в su(3) подсекторе 70
4.6 Программная реализация для кристаллических базисов алгебры Ли su(3) 72
Заключение 79
Список литературы 81
Теория представлений играет колоссальную роль в современной теоретической физике и является неотъемлемой частью многих её направлений.
Рассмотрим две изолированные физические системы Si и S2, пространства состояний которых hi и Н%. Эти две системы можно рассматривать независимо друг от друга. Если же эти системы взаимодействуют друг с другом, то необходимо рассмотреть их как одну систему, пространство состояний которой будет формировать конструкцию тензорного произведения hi ® h2. Пускай нашей системой будут две взаимодействующие друг с другом частицы. В случае, если каждая из них обладает внутренней степенью свободы, например спином, то используя разложение тензорного произведения пространств представления алгебры симметрии, действующей на пространствах состояний этих частиц, на неприводимые, мы можем разложить состояния со многими степенями свободы на линейные комбинации произведений одночастичных состояний.
Одной из важнейших моделей квантовой механики и теории интегрируемых систем, для которой справедливо вышеизложенное, является интегрируемая квантовая спиновая цепочка. Пространство состояний данной системы является тензорным произведением пространств состояний узлов цепочки H = hi ® ... ® h N = C2 ® ... ® C2. Гамильтониан спиновой цепочки имеет вид
тт P / т XX.Tyy.TZZA 7 P^ z
H = - (Jxffjffj+1 + Jya]aj+i + Jza]aj+i) - h^aj, где
3=1 j=i
J — константы взаимодействия, и заданы граничные условия aN +i = &i- Рассмотрим задачу с точки зрения алгебраического подхода. На узлах цепочки действует фундаментальное представление s/2, а на всей цепочке — его тензорная степень.
Для нахождения количества собственных подпространств Гамильтониана спиновой цепочки, имеющих заданное значение спина, необходимо решить равносильную задачу разложения тензорного произведения представлений на неприводимые, а затем найти кратности неприводимых компонент. Гамильтониан спиновой цепочки с N узлами задан на тензорном произведении пространств состояний в узлах цепочки. В случае, когда он инвариантен относительно действия алгебры Ли g, а именно [H,x =0, 8х 2 g, количество собственных подпространств, отвечающих одному и тому же собственному значению, совпадает с кратностью Z(А, N) в разложении пространства H состояний системы в прямую сумму неприводимых модулей VА алгебры g: H фд Z(А, N)V Чтобы найти спектр энергий, необходимо диагонализовать Гамильтониан, что равносильно нахождению базиса пространства представления, в котором оно имеет вид прямой суммы инвариантных подпространств, каждое из которых соответствует своей неприводимой компоненте в разложении. Для решения этих задач в данной работе будет рассмотрен аппарат кристаллических базисов.
Кристаллические базисы задействуют формализм квантовых групп, который подробно рассмотрен в данной дипломной работе. Его использование оказывается очень эффективным при решении задачи разложения тензорного произведения представлений на неприводимые составляющие. Благодаря этому кристаллические базисы позволяют работать с обширным классом объектов, а именно, с модулями категории Oint. Эта категория включается в себя интегрируемые весовые модули, имеющие конечный набор конечномерных весовых подпространств. В их числе также содержатся модули, соответствующие представлениям алгебр Ли серий An, Bn, Cn, Dn. Кроме того, кристаллические базисы имеют очень простое поведение при рассмотрении большого количества компонент тензорного произведения представлений.
Упомянутые выше конструкции применяются в контексте интегрируемости в AdS/CFT соответствии. Одним из наиболее хорошо изученных примеров является соответствие между теорией N =4 суперсимметричного Янга-Миллса и теорией струн типа IIB в пространстве AdS5 х S5. При изучении данного соответствия нам понадобится квантовая теория поля, теория струн, а также аппарат кристаллических базисов, приложенный к изучению интегрируемой спиновой цепочки.
Последовательность изложения материала в данном дипломе выглядит следующим образом. В главе 2 дано краткое введение в теорию алгебр Ли и их представлений. Затем описан аппарат квантовых групп, чтобы в дальнейшем перейти к кристаллическим базисам. Они, в свою очередь, будут использованы для разложения тензорного произведения представлений на неприводимые. Нами будут рассмотрены и проделаны конкретные вычисления с использованием кристаллических базисов на примере алгебры Ли su(3).
В главе 3 будет дан пример интегрируемой системы, а именно, спиновой цепочки XXX1 с алгеброй симметрии sl}, решение задачи на нахождение собственных функций и спектра которой с точки зрения алгебраического подхода эквивалентно разложению тензорных степеней представлений на неприводимые. Изначально развитый для этого подход, использующий алгебраический анзац Бёте, не всегда рационален, особенно при рассмотрении большой тензорной степени и другой алгебры симметрии, так как построение соответствующих уравнений и их решение является нетривиальной задачей. Модификации спиновой цепочки такого рода возникают в теории N = 4 суперсимметричного Янга-Миллса, о чём более подробно сказано в следующей главе.
Для вычисления спектра аномальных размерностей односледовых скалярных операторов в однопетлевом приближении необходимо рассмотреть двухточечный коррелятор оператора с самим собой. Было показано [30], что он имеет вид, схожий с гамильтонианом спиновой цепочки, однако при этом нам будет необходимо рассматривать другую алгебру симметрий. В главе 4 для вычисления аномальных размерностей в подсекторе su(3) будет использован аппарат кристаллических базисов. В контексте AdS/CFT соответствия, теория N = 4 SYM дуальна, как уже было сказано, теории струн типа IIB в пространстве AdS5 х S5, а спектр аномальных размерностей этого подсектора соответствует энергетическому спектру струны, вращающейся с угловым моментом (Ji, J2, J3) в S5, где суммарный угловой момент зависит от длины рассматриваемой спиновой цепочки. Так как вычисления подразумевают рассмотрение большого суммарного углового момента струны, то необходимо рассматривать большие степени тензорного произведения представлений. В данном дипломе нами будет предложен алгоритм решения задачи разложения на неприводимые представления с помощью кристаллических базисов, а также его программная реализация в системе MATLAB. Рассмотрев дуальность со стороны теории струн, мы опишем способ вычисления спектра энергий, а также их пересчёта в спектр аномальных размерностей односледовых скалярных операторов. Таким образом будет описан алгоритм проведения проверки соответствия между теорией N = 4 суперсимметричного Янга-Миллса и теорией струн типа IIB в пространстве AdS$ х S5, а программная реализация послужит инструментом для выполнения одного из шагов этой проверки.
Рассмотрим две изолированные физические системы Si и S2, пространства состояний которых hi и Н%. Эти две системы можно рассматривать независимо друг от друга. Если же эти системы взаимодействуют друг с другом, то необходимо рассмотреть их как одну систему, пространство состояний которой будет формировать конструкцию тензорного произведения hi ® h2. Пускай нашей системой будут две взаимодействующие друг с другом частицы. В случае, если каждая из них обладает внутренней степенью свободы, например спином, то используя разложение тензорного произведения пространств представления алгебры симметрии, действующей на пространствах состояний этих частиц, на неприводимые, мы можем разложить состояния со многими степенями свободы на линейные комбинации произведений одночастичных состояний.
Одной из важнейших моделей квантовой механики и теории интегрируемых систем, для которой справедливо вышеизложенное, является интегрируемая квантовая спиновая цепочка. Пространство состояний данной системы является тензорным произведением пространств состояний узлов цепочки H = hi ® ... ® h N = C2 ® ... ® C2. Гамильтониан спиновой цепочки имеет вид
тт P / т XX.Tyy.TZZA 7 P^ z
H = - (Jxffjffj+1 + Jya]aj+i + Jza]aj+i) - h^aj, где
3=1 j=i
J — константы взаимодействия, и заданы граничные условия aN +i = &i- Рассмотрим задачу с точки зрения алгебраического подхода. На узлах цепочки действует фундаментальное представление s/2, а на всей цепочке — его тензорная степень.
Для нахождения количества собственных подпространств Гамильтониана спиновой цепочки, имеющих заданное значение спина, необходимо решить равносильную задачу разложения тензорного произведения представлений на неприводимые, а затем найти кратности неприводимых компонент. Гамильтониан спиновой цепочки с N узлами задан на тензорном произведении пространств состояний в узлах цепочки. В случае, когда он инвариантен относительно действия алгебры Ли g, а именно [H,x =0, 8х 2 g, количество собственных подпространств, отвечающих одному и тому же собственному значению, совпадает с кратностью Z(А, N) в разложении пространства H состояний системы в прямую сумму неприводимых модулей VА алгебры g: H фд Z(А, N)V Чтобы найти спектр энергий, необходимо диагонализовать Гамильтониан, что равносильно нахождению базиса пространства представления, в котором оно имеет вид прямой суммы инвариантных подпространств, каждое из которых соответствует своей неприводимой компоненте в разложении. Для решения этих задач в данной работе будет рассмотрен аппарат кристаллических базисов.
Кристаллические базисы задействуют формализм квантовых групп, который подробно рассмотрен в данной дипломной работе. Его использование оказывается очень эффективным при решении задачи разложения тензорного произведения представлений на неприводимые составляющие. Благодаря этому кристаллические базисы позволяют работать с обширным классом объектов, а именно, с модулями категории Oint. Эта категория включается в себя интегрируемые весовые модули, имеющие конечный набор конечномерных весовых подпространств. В их числе также содержатся модули, соответствующие представлениям алгебр Ли серий An, Bn, Cn, Dn. Кроме того, кристаллические базисы имеют очень простое поведение при рассмотрении большого количества компонент тензорного произведения представлений.
Упомянутые выше конструкции применяются в контексте интегрируемости в AdS/CFT соответствии. Одним из наиболее хорошо изученных примеров является соответствие между теорией N =4 суперсимметричного Янга-Миллса и теорией струн типа IIB в пространстве AdS5 х S5. При изучении данного соответствия нам понадобится квантовая теория поля, теория струн, а также аппарат кристаллических базисов, приложенный к изучению интегрируемой спиновой цепочки.
Последовательность изложения материала в данном дипломе выглядит следующим образом. В главе 2 дано краткое введение в теорию алгебр Ли и их представлений. Затем описан аппарат квантовых групп, чтобы в дальнейшем перейти к кристаллическим базисам. Они, в свою очередь, будут использованы для разложения тензорного произведения представлений на неприводимые. Нами будут рассмотрены и проделаны конкретные вычисления с использованием кристаллических базисов на примере алгебры Ли su(3).
В главе 3 будет дан пример интегрируемой системы, а именно, спиновой цепочки XXX1 с алгеброй симметрии sl}, решение задачи на нахождение собственных функций и спектра которой с точки зрения алгебраического подхода эквивалентно разложению тензорных степеней представлений на неприводимые. Изначально развитый для этого подход, использующий алгебраический анзац Бёте, не всегда рационален, особенно при рассмотрении большой тензорной степени и другой алгебры симметрии, так как построение соответствующих уравнений и их решение является нетривиальной задачей. Модификации спиновой цепочки такого рода возникают в теории N = 4 суперсимметричного Янга-Миллса, о чём более подробно сказано в следующей главе.
Для вычисления спектра аномальных размерностей односледовых скалярных операторов в однопетлевом приближении необходимо рассмотреть двухточечный коррелятор оператора с самим собой. Было показано [30], что он имеет вид, схожий с гамильтонианом спиновой цепочки, однако при этом нам будет необходимо рассматривать другую алгебру симметрий. В главе 4 для вычисления аномальных размерностей в подсекторе su(3) будет использован аппарат кристаллических базисов. В контексте AdS/CFT соответствия, теория N = 4 SYM дуальна, как уже было сказано, теории струн типа IIB в пространстве AdS5 х S5, а спектр аномальных размерностей этого подсектора соответствует энергетическому спектру струны, вращающейся с угловым моментом (Ji, J2, J3) в S5, где суммарный угловой момент зависит от длины рассматриваемой спиновой цепочки. Так как вычисления подразумевают рассмотрение большого суммарного углового момента струны, то необходимо рассматривать большие степени тензорного произведения представлений. В данном дипломе нами будет предложен алгоритм решения задачи разложения на неприводимые представления с помощью кристаллических базисов, а также его программная реализация в системе MATLAB. Рассмотрев дуальность со стороны теории струн, мы опишем способ вычисления спектра энергий, а также их пересчёта в спектр аномальных размерностей односледовых скалярных операторов. Таким образом будет описан алгоритм проведения проверки соответствия между теорией N = 4 суперсимметричного Янга-Миллса и теорией струн типа IIB в пространстве AdS$ х S5, а программная реализация послужит инструментом для выполнения одного из шагов этой проверки.
Итак, в данной дипломной работе был дан краткий обзор теории представлений алгебр Ли, а также введение в квантовые группы.
Кристаллические базисы дают довольно мощный метод для разрешения задачи разложения тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты и имеет ряд преимуществ перед другими методами. Можно сказать, что он сводит решение задачи к применению некоторой последовательности несложных правил, что подтверждается приведёнными в данной работе конкретными примерами вычислений. Мы предполагаем, что применение этого метода требует меньше вычислительных ресурсов, чем другие алгоритмы, а это имеет важное значение в ситуациях, когда количество узлов спиновой цепочки велико. Более того, в случае, если наши предположения верны, метод кристаллических базисов может помочь понять асимптотическое поведение коэффициентов m(A, N) в разложении У ® Vv фд m(A, N)VА при стремлении N ! 1. Однако, этот метод задействует достаточно много теоретических сведений, которые и были изложены в дипломной работе.
Также мы дали краткий обзор модели спиновой цепочки и алгебраического анзаца Бёте в случае алгебры Ли sl^. Множество понятий, что были задействованы при нахождении спектра данной модели были использованы при исследовании соответствия между теорией N = 4 SYM и IIB теорией струн в пространстве AdS$ х S5. Помимо предоставления необходимых сведений по AdS/CFT соответствию, мы проследовали статье [30] и показали эквивалентность между матрицей аномальных размерностей односледовых скалярных операторов в теории N = 4 SYM в однопетлевом приближении и гамильтонианом некоторой спиновой цепочки. Это было использовано для проверки соответствия между упомянутыми выше теориями. Мы изложили алгоритм осуществления этой проверки и предложили программную реа-лизацию для выполнения одного из шагов.
Мы написали собственную реализацию программы поиска кристаллических базисов для N -кратного тензорного произведения фундаментальных представлений алгебры Ли su(3). Также был представлен анализ эффективности выполнения программы. Стоит сказать, что аналогов предложенной реализации на данный момент нет, поэтому она актуальна и имеет принципиальную новизну не только в контексте решения физических задач, но и математических. Отметим, что существует пакет для Maple, в котором алгоритм решения похожей задачи реализован. С документацией можно ознакомиться в работе [22]. Однако, он не работает с тензорными степенями представлений. Более того, построение кристаллов может быть осуществлено пакетом CrystalView, описание работы которого можно посмотреть в статье [23]. Тем не менее, CrystalView не имеет возможности рассматривать тензорные произведения представлений.
Далее программную реализацию можно использовать для изучения AdS/CFT соответствия двух вышеупомянутых теорий. С помощью найденного программой кристаллического базиса можно диагонализовать гамильтониан и получить спектр аномальных размерностей односледовых скалярных операторов. Далее мы описали, как можно их сопоставить со спектром некоторой замкнутой струны со спинами (Ji, J2, J3) в IIB теории струн в пространстве AdS5 х S . Совпадение предсказаний со стороны обеих теорий будет означать, что гипотеза прошла очередной тест на соответствие.
Стоит отметить, что вместо использования аппарата кристаллических базисов для проверки соответствия можно было воспользоваться термодинамическим анзацем Бёте. Однако, тем самым мы бы потеряли возможность рассматривать другие калибровочно инвариантные величины, задача диагонализации соответствующих матриц аномальных размерностей которых тоже является актуальной. Кристаллические базисы предлагают довольно мощный способ работы безотносительно теории струн, когда нет необходимости брать предел J ! 1. Например, мы имеем возможность находить спектр аномальных размерностей других операторов теории N = 4 SYM, что может быть использовано даже для поиска констант перенор-мировок. Мы также могли бы прибегнуть к использованию спектральной кривой, но её построение включает в себя использование формализма Лакса. Это представляет из себя нетривиальную задачу для объектов категории Oint, поэтому мы предполагаем, что использование кристаллических базисов в произвольном случае может оказаться эффективным.
Кристаллические базисы дают довольно мощный метод для разрешения задачи разложения тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты и имеет ряд преимуществ перед другими методами. Можно сказать, что он сводит решение задачи к применению некоторой последовательности несложных правил, что подтверждается приведёнными в данной работе конкретными примерами вычислений. Мы предполагаем, что применение этого метода требует меньше вычислительных ресурсов, чем другие алгоритмы, а это имеет важное значение в ситуациях, когда количество узлов спиновой цепочки велико. Более того, в случае, если наши предположения верны, метод кристаллических базисов может помочь понять асимптотическое поведение коэффициентов m(A, N) в разложении У ® Vv фд m(A, N)VА при стремлении N ! 1. Однако, этот метод задействует достаточно много теоретических сведений, которые и были изложены в дипломной работе.
Также мы дали краткий обзор модели спиновой цепочки и алгебраического анзаца Бёте в случае алгебры Ли sl^. Множество понятий, что были задействованы при нахождении спектра данной модели были использованы при исследовании соответствия между теорией N = 4 SYM и IIB теорией струн в пространстве AdS$ х S5. Помимо предоставления необходимых сведений по AdS/CFT соответствию, мы проследовали статье [30] и показали эквивалентность между матрицей аномальных размерностей односледовых скалярных операторов в теории N = 4 SYM в однопетлевом приближении и гамильтонианом некоторой спиновой цепочки. Это было использовано для проверки соответствия между упомянутыми выше теориями. Мы изложили алгоритм осуществления этой проверки и предложили программную реа-лизацию для выполнения одного из шагов.
Мы написали собственную реализацию программы поиска кристаллических базисов для N -кратного тензорного произведения фундаментальных представлений алгебры Ли su(3). Также был представлен анализ эффективности выполнения программы. Стоит сказать, что аналогов предложенной реализации на данный момент нет, поэтому она актуальна и имеет принципиальную новизну не только в контексте решения физических задач, но и математических. Отметим, что существует пакет для Maple, в котором алгоритм решения похожей задачи реализован. С документацией можно ознакомиться в работе [22]. Однако, он не работает с тензорными степенями представлений. Более того, построение кристаллов может быть осуществлено пакетом CrystalView, описание работы которого можно посмотреть в статье [23]. Тем не менее, CrystalView не имеет возможности рассматривать тензорные произведения представлений.
Далее программную реализацию можно использовать для изучения AdS/CFT соответствия двух вышеупомянутых теорий. С помощью найденного программой кристаллического базиса можно диагонализовать гамильтониан и получить спектр аномальных размерностей односледовых скалярных операторов. Далее мы описали, как можно их сопоставить со спектром некоторой замкнутой струны со спинами (Ji, J2, J3) в IIB теории струн в пространстве AdS5 х S . Совпадение предсказаний со стороны обеих теорий будет означать, что гипотеза прошла очередной тест на соответствие.
Стоит отметить, что вместо использования аппарата кристаллических базисов для проверки соответствия можно было воспользоваться термодинамическим анзацем Бёте. Однако, тем самым мы бы потеряли возможность рассматривать другие калибровочно инвариантные величины, задача диагонализации соответствующих матриц аномальных размерностей которых тоже является актуальной. Кристаллические базисы предлагают довольно мощный способ работы безотносительно теории струн, когда нет необходимости брать предел J ! 1. Например, мы имеем возможность находить спектр аномальных размерностей других операторов теории N = 4 SYM, что может быть использовано даже для поиска констант перенор-мировок. Мы также могли бы прибегнуть к использованию спектральной кривой, но её построение включает в себя использование формализма Лакса. Это представляет из себя нетривиальную задачу для объектов категории Oint, поэтому мы предполагаем, что использование кристаллических базисов в произвольном случае может оказаться эффективным.
