1. Введение 3
2. Постановка задачи 6
3. Основные используемые понятия и теоремы 9
4. Необходимое и достаточное условие устойчивости 12
5. Метод оценки запаздывания 19
6. Заключение 22
Список литературы 23
В данной работе рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на примере модели шара с желобом. Она стабилизируется PD контроллером. Сохраняя коэффициенты в нём, записывается уравнение пропорционального контроллера с запаздыванием. Целью работы является нахождение запаздывания, при котором эта система остается экспоненциально устойчивой, с помощью матриц Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского полного типа. Под системой дифференциальных уравнений с запаздыванием обычно понимают систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента [2]. И если для линейных стационарных систем без запаздывания проблема устойчивости решена, то для систем с запаздываниями исследование устойчивости по-прежнему актуально.
При решении задач стабилизации линейных стационарных систем с запаздыванием находят широкое применение два метода [8]. Первый подход основывается на том, что для любой линейной системы с запаздыванием можно построить характеристический квазиполином, по расположению корней которого можно сделать вывод об устойчивости системы. Второй подход называется методом Ляпунова-Красовского и состоит в обобщении классического второго метода Ляпунова на случай систем с запаздывающим аргументом [5]. При таком подходе для определения устойчивости системы используются функционалы, определённые на множестве вектор-функций (функционалы Ляпунова-Красовского).
Работа состоит из двух основных частей. Первая часть содержит в себе необходимое условие устойчивости, которым является положительная определённость специальной матрицы, построенной исключительно по матрице Ляпунова. Также строится область экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров заданной системы. Для того чтобы были видны точные границы областей устойчивости и неустойчивости, используется метод D-разбиений [2], основная идея которого состоит в разбиении пространства параметров системы кривыми, соответствующими тем значениям параметров, при которых характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. При этом области обладают следующим свойством: если одна из точек этой области соответствует экспоненциально устойчивой системе, то и все остальные точки области соответствуют экспоненциально устойчивым системам, и наоборот. Если область, ограниченная такими кривыми, содержит в себе точки, в которых необходимое условие устойчивости не выполняется, то эта область является областью неустойчивости. Из-за того, что численно невозможно проверить условие для всех точек, проверка осуществляется для конечного числа равномерно распределённых по плоскости точек. Также в первой части рассматривается критерий экспоненциальной устойчивости для систем дифференциально-разностных уравнений с запаздывающим аргументом. В критерии сказано, что для того чтобы система была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно показать положительную определенность матрицы специального вида некоторой размерности г. Проблема заключается в том, какой именно нужно её брать. Поэтому находятся условия, при которых размерность r уменьшается и вычисление специальной матрицы с такой размерностью уменьшается. И проводится анализ графика области экспоненциальной устойчивости, в котором точки из областей, подозрительных на устойчивость, проверяются критерием устойчивости и находятся все запаздывания, при которых система является экспоненциально устойчивой.
Вторая основная часть посвящена методу оценки запаздывания с помощью функционалов полного типа [1]. В ней рассматривается система, где запаздывание входит только в одну матрицу
x(t) = (hP + Q)x(t) + A1x(t — 1), t > 0.
Предполагается, что эта система экспоненциально устойчива при достаточно малом h. Находится оценка на возмущенную матрицу такая, что система остается устойчивой при некотором условии.
Стоит отметить, что задача поиска запаздывания может быть рассмотрена и на других примерах кроме модели шара с желобом и к ним могут быть применимы методы, описанные в данной работе.
Нами были исследованы два метода для нахождения значения h критического, при котором система теряет экспоненциальную устойчивость. В сравнении первый метод лучше, он дает хорошую оценку на h, но посчитать матрицу и проверить её на положительную определенность с большой размерностью не всегда удается быстро. Со вторым методом таких трудностей не возникает, не приходится долго ждать результата, но он получается консервативным.
В качестве направлений дальнейших исследований отметим, что во втором методе можно попытаться найти матрицы W0, W1, W2, которые не являлись бы единичными, умноженными на некоторый коэффициент. Также можно находить итерационно каждый раз новое h, подставляя его в систему для определения h критического. Кроме того, возможно уменьшение размерности г.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
