Тема: Стабилизирующая роль запаздывания в системах обыкновенных дифференциальных уравнений

В данной работе рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на примере модели шара с жело­бом. Она стабилизируется PD контроллером. Сохраняя коэффициенты в нём, записывается уравнение пропорционального контроллера с запаздыванием. Целью работы является нахождение запаздывания, при котором эта система остается экспоненциально устойчивой, с помощью матриц Ляпунова и функ­ционалов Ляпунова-Красовского полного типа. Под системой дифференци­альных уравнений с запаздыванием обычно понимают систему дифференци­альных уравнений, в которых неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента [2]. И если для линейных стационарных систем без запаздывания проблема устойчивости решена, то для систем с за­паздываниями исследование устойчивости по-прежнему актуально.
При решении задач стабилизации линейных стационарных систем с запаз­дыванием находят широкое применение два метода [8]. Первый подход осно­вывается на том, что для любой линейной системы с запаздыванием можно построить характеристический квазиполином, по расположению корней ко­торого можно сделать вывод об устойчивости системы. Второй подход назы­вается методом Ляпунова-Красовского и состоит в обобщении классическо­го второго метода Ляпунова на случай систем с запаздывающим аргумен­том [5]. При таком подходе для определения устойчивости системы использу­ются функционалы, определённые на множестве вектор-функций (функцио­налы Ляпунова-Красовского).
Работа состоит из двух основных частей. Первая часть содержит в себе необходимое условие устойчивости, которым является положительная опре­делённость специальной матрицы, построенной исключительно по матрице Ляпунова. Также строится область экспоненциальной устойчивости в про­странстве параметров заданной системы. Для того чтобы были видны точ­ные границы областей устойчивости и неустойчивости, используется метод D-разбиений [2], основная идея которого состоит в разбиении пространства параметров системы кривыми, соответствующими тем значениям парамет­ров, при которых характеристическое уравнение имеет чисто мнимые кор­ни. При этом области обладают следующим свойством: если одна из точек этой области соответствует экспоненциально устойчивой системе, то и все остальные точки области соответствуют экспоненциально устойчивым систе­мам, и наоборот. Если область, ограниченная такими кривыми, содержит в себе точки, в которых необходимое условие устойчивости не выполняется, то эта область является областью неустойчивости. Из-за того, что численно невозможно проверить условие для всех точек, проверка осуществляется для конечного числа равномерно распределённых по плоскости точек. Также в первой части рассматривается критерий экспоненциальной устойчивости для систем дифференциально-разностных уравнений с запаздывающим аргумен­том. В критерии сказано, что для того чтобы система была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно показать положительную определен­ность матрицы специального вида некоторой размерности г. Проблема за­ключается в том, какой именно нужно её брать. Поэтому находятся условия, при которых размерность r уменьшается и вычисление специальной матри­цы с такой размерностью уменьшается. И проводится анализ графика области экспоненциальной устойчивости, в котором точки из областей, подозритель­ных на устойчивость, проверяются критерием устойчивости и находятся все запаздывания, при которых система является экспоненциально устойчивой.
Вторая основная часть посвящена методу оценки запаздывания с помощью функционалов полного типа [1]. В ней рассматривается система, где запазды­вание входит только в одну матрицу
x(t) = (hP + Q)x(t) + A1x(t — 1), t > 0.
Предполагается, что эта система экспоненциально устойчива при достаточ­но малом h. Находится оценка на возмущенную матрицу такая, что система остается устойчивой при некотором условии.
Стоит отметить, что задача поиска запаздывания может быть рассмотрена и на других примерах кроме модели шара с желобом и к ним могут быть применимы методы, описанные в данной работе.
Купить

Нами были исследованы два метода для нахождения значения h кри­тического, при котором система теряет экспоненциальную устойчивость. В сравнении первый метод лучше, он дает хорошую оценку на h, но посчитать матрицу и проверить её на положительную определенность с большой раз­мерностью не всегда удается быстро. Со вторым методом таких трудностей не возникает, не приходится долго ждать результата, но он получается кон­сервативным.
В качестве направлений дальнейших исследований отметим, что во втором методе можно попытаться найти матрицы W0, W1, W2, которые не являлись бы единичными, умноженными на некоторый коэффициент. Также можно находить итерационно каждый раз новое h, подставляя его в систему для определения h критического. Кроме того, возможно уменьшение размерности г.
Купить