Введение 3
Постановка задачи 3
Обзор литературы 4
Глава 1. Математическая постановка задачи 6
1.1. Основные зависимости 6
1.2. Система уравнений 8
Глава 2. Численные методы 9
2.1. Метод Ньютона-Канторовича 9
2.2. Метод ортогональной прогонки 10
2.3. Граничное условие в полюсе 12
2.4. Метод продолжение по параметру 13
Глава 3. Результаты 15
3.1. Жёсткая заделка 15
3.2. Шарнирное закрепление 16
Выводы 18
Список литературы 19
Приложение А 20
Приложение Б 22
Тонкие сферические оболочки широко используются в кораблестроении, машиностроении, гражданском строительстве и других промышленных приложениях. Помимо этого с помощью теории оболочек можно описывать биологические мембраны, клетки, а также коллоидные частицы. Соответственно, определение их поведения, например, потеря устойчивости при осесимметричной деформации, является важной задачей. Нелинейность уравнений создаёт существенные трудности для их аналитического решения, вследствие чего для исследования применяется комбинация численных методов.
В Главе 1 приводится набор дифференциальных и алгебраических уравнений, соответствующих модели изотропного и несжимаемого материала. Уравнения также относятся и к геометрической постановке - срединной поверхность отвечает дуга окружности, являющегося сечением исходной сферической оболочки.
В Главе 2 описывается алгоритм численного решения поставленной задачи с помощью ряда методов. Также приводится способ обработки граничного условия в полюсе, представляющее особую трудность в случае сферических оболочек.
В Главе 3 приводятся результаты численного эксперимента, в виде диаграмм перемещение-нагрузка в случаях двух граничных условий: 1) жёсткой заделки и 2) шарнирного закрепления.
В приложениях А и Б приводятся листинг части программы, используемой для решения уравнений и имплементирующая описываемые алгоритмы, и формы срединной поверхности для различных состояний рассматриваемых граничных условий.
Построен и реализован алгоритм решения нелинейных уравнений для осесимметричной деформации сферической оболочки вращения. Существующая имплементация соединяет метод Ньютона-Канторовича, метод ортогональной прогонки и метод продолжения по параметру.
С помощью данных средств были найдены точки потери устойчивости оболочки и диаграмма "прогиб полюса-внешнее давление". Приведены формы срединной поверхности оболочки при некоторых значениях внешнего давления.
Предложенный алгоритм и полученные результаты могут быть в дальнейшем использованы при рассмотрении оболочек с меньшими толщинами, отличных от рассмотренных граничными условиями или оболочек с эллиптической формой.
