Построение бесконечной серии трехмерных гиперболических многообразий, сложности которых известны

Обозначения 3
1. Введение 4
1.1. Гомологически минимальные триангуляции 5
1.2. Разбиение класса Mh на три подкласса 5
1.3. Постановка задачи и формулировка основного результата 5
2. Идеальные триангуляции и специальные полиэдры 6
2.1. Специальные полиэдры с краем 6
2.2. Критерий утолщаемости специальных полиэдров 7
2.3. Двойственность между идеальными триангуляциями и специальными спайнами 8
3. Задание гомологически минимальных полиэдров при помощи шаблонов 8
3.1. Гомологически минимальные полиэдры 8
3.2. Шаблоны 9
3.3. Комбинаторное разложение гомологически минимальных полиэдров 11
3.4. Сюръективность комбинаторного разложения 13
4. Утолщаемость гомологически минимальных полиэдров 15
4.1. Доказательство предложения 2 16
4.2. Доказательство теоремы 6 17
5. Доказательство теоремы 1 18
6. Доказательство теоремы 2 20
Список литературы 22
Купить

В данной работе рассматриваются исключительно компактные 3-многообразия с непустым краем. Пусть А обозначает стандартный тетраэдр. Идеальной триангуляцией компактного 3-многообразия M с непустым краем называется реализация внутренности M в виде склейки конечного числа копий А с удалёнными вершинами по аффинным гомеоморфизмам их граней. Идеальная триангуляция многообразия M называется минимальной, если она содержит наи­меньшее число тетраэдров среди всех идеальных триангуляций данного многообразия. Число тетраэдров в минимальной идеальной триангуляции многообразия M называется триангуля­ционной сложностью и обозначается через c&(M).
Триангуляционную сложность, как и многие другие инварианты аналогичного типа, до­вольно трудно вычислять. В первую очередь точные значения триангуляционной сложности известны для многообразий, табулированных при помощи компьютера. Полная таблица ориен­тируемых гиперболических многообразий с каспами до сложности 9 включительно, описанная в [1], содержит 162 182 минимальных идеальных триангуляций для 61 911 многообразий. Все эти многообразия вместе с триангуляциями включены в компьютерные программы SnapPy [2] и Regina [3]. В [4] перечисляются все гиперболические многообразия с каспами, получающиеся склейкой правильных гиперболических идеальных тетраэдров, до сложности 25 включитель­но. М. Фуджи в [5] показал, что имеется лишь 8 различных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с вполне геодезическим краем сложности 2. В последствии Р. Фриджерио, Б. Мартелли и К. Петронио классифицировали в [6] все компактные ориентируемые гипербо­лические 3-многообразия конечного объема с непустым вполне геодезическим краем до слож­ности 4 включительно.
На данный момент известны лишь несколько бесконечных серий компактных связных 3-многообразий с краем, для которых удалось установить точное значение триангуляцион­ной сложности. Первая бесконечная серия была описана Р. Фриджерио, Б. Мартелли и К. Петронио в работе [7]. Многообразия этой серии обладают идеальными триангуляциями с единственным ребром. Вопрос минимальности идеальных триангуляций, обладающих ровно двумя рёбрами был исследован А. Ю. Весниным, В. Г. Тураевым и Е. А. Фоминых в рабо­те [8]. В работе [9] А. В. Малютин, Е. А. Фоминых и Е. В. Шумакова установили точное значение триангуляционной сложности для бесконечного семейства 3-многообразий с краем, задаваемых 4-регулярными графами с тремя эйлеровыми циклами. Минимальные идеальные триангуляции таких многообразий содержат в точности три ребра.
В работе [10] Р. Фриджерио, Б. Мартелли и К. Петронио описали двухпараметрическое се­мейство {Mg,k}g^k>0 компактных ориентируемых 3-многообразий с краем. По определению компактное ориентируемое трехмерное многообразие M лежит в множестве Mg,k, если оно обладает идеальной триангуляцией с g + к тетраэдрами, и его край dM состоит из замкнутой ориентируемой поверхности рода g и к торов. Было доказано, что такие многообразия являют­ся гиперболическими, и триангуляционная сложность многообразий из Mg,k равняется g + к. Отметим, что минимальные идеальные триангуляции многообразий из семейства {Mg,k}gyk>0, не ограничены по числу рёбер.
1.1. Гомологически минимальные триангуляции. В [11] мы доказали, что триангуляци­онная сложность компактного 3-многообразия M с краем оценивается снизу первым числом Бетти в1 (M, Z/2Z) гомологий многообразия M с коэффициентами в группе Z/2Z. Идеальную триангуляцию T компактного 3-многообразия M с краем будем называть гомологически мини­мальной, если она содержит в точности fii(M, Z/2Z) тетраэдров; гомологически минимальные триангуляции и их свойства изучались в [11]. Обозначим через Mh класс компактных связных 3-многообразий с краем, обладающих гомологически минимальными триангуляциями. Ясно, что всякая гомологически минимальная триангуляция минимальна, и триангуляционная слож­ность многообразия M G Mh равна в1 (M, Z/2Z). Также мы доказали, что все многообразия из класса Mh, за исключением шести многообразий триангуляционной сложности меньшей че­тырёх, являются гиперболическими многообразиями с вполне геодезическим краем и каспами. Более того, каждое многообразие из Mh обладает единственной минимальной триангуляцией, а именно, гомологически минимальной.
1.2. Разбиение класса Mh на три подкласса. Тетраэдры до склейки, а также их верши­ны, рёбра и грани будем называть модельными клетками. Ребро e идеальной триангуляции будем называть чётным (соотв., нечётным), если каждая модельная грань содержит чётное (соотв., нечётное) число прообразов данного ребра (то есть модельных рёбер, которые дают ребро e после склейки модельных тетраэдров). Стоит отметить, что идеальная триангуляция общего положения не содержит ни чётных, ни нечётных рёбер. В [11] мы доказали, что лю­бая гомологически минимальная триангуляция содержит только чётные и нечётные рёбра, и наоборот любая идеальная триангуляция, содержащая только чётные и нечётные рёбра, явля­ется гомологически минимальной. Более того, мы показали, что множество всех гомологически минимальных триангуляций разбивается на три подмножества:
T1: триангуляции, содержащие ровно одно ребро, и оно нечётно;
Т2: триангуляции, содержащие ровно три ребра, и они нечётны;
Te: триангуляции, содержащие хотя бы два ребра, одно из которых нечётно, а остальные — чётны.
Обозначим через M2 (соотв., M2 или Me) класс компактных 3-многообразий с краем, обла­дающих идеальными триангуляциями из Т2 (соотв., Т2 или Te). В [11] показано, что эти классы попарно не пересекаются, а потому задают разбиение класса Mh. Более того, класс M2 сов­падает с классом многообразий из работы [9], а ориентируемые многообразия из M2 описаны в [7]. В обоих работах доказывается непустота соответствующих классов, а также строятся бесконечные серии многообразий в них содержащиеся. Класс Me содержит в себе двухпара­метрическое семейство {Mg,k}g^k>0 из работы [10], а потому он тоже не пуст и бесконечен. Тем не менее, при помощи компьютера были найдены несколько примеров многообразий, лежащих в дополнении семейства {Mg,k }gyfc>o в классе Me.
1.3. Постановка задачи и формулировка основного результата. В силу вышесказан­ного естественно ставить задачу о построении бесконечных серий 3-многообразий в Me {Mg,k}g^k>o. Дополнительный интерес к поиску новых бесконечных серий 3-многообразий в классе Me обусловлен их гиперболичностью и известными значениями как триангуляционной сложности, так и сложности Матвеева.
Для формулировки основного результата введём понятия короткой и длинной компоненты края 3-многообразия. Компоненту связности края многообразия М будем называть длинной, если она имеет наименьшее значение эйлеровой характеристики среди всех компонент края дМ, в противном случае, её будем называть короткой.
Определим отображение G из класса Me в множество пар (F, b), где F — замкнутая по­верхность и b G N. Многообразию М G Me сопоставим пару G(M), состоящую из объединения коротких компонент края дМ и второго числа Бетти гомологий многообразия М с коэффи­циентами в группе Z/2Z. Пару (F, b) будем называть допустимой, если среди компонент связ­ности F нет сфер и проективных плоскостей, а также b не меньше числа компонент связности F. Множество допустимых пар обозначим через A. Из результатов работы [11] следует, что пары, сопоставляемые многообразиям из класса Me посредством отображения G, являются допустимыми, то есть G(Me) С A.
Основой результат данной работы сформулирован в теоремах 1 и 2.
Теорема 1. Для любой допустимой пары (F,b) G A число многообразий в G-1(F,b) беско­нечно и как функция от триангуляционной сложности с, имеет асимптотику типа сс.
Тривиальным следствием теоремы 1 является равенство G(Me) = A. Отметим также, что доказательство теоремы 1 носит конструктивный характер, а именно по заданной допусти­мой паре (F, b) строится бесконечная серия 3-многообразий из класса Me, содержащихся в G-1(F, b). Наконец, совокупность коротких компонент края дМ и второе число Бетти гомоло­гий многообразия М с коэффициентами в группе Z/2Z позволяют характеризовать семейство {Mg,k}g^k>o как подмножество в классе Me, что сформулировано в теореме 2.
Теорема 2. Ориентируемое многообразие М из класса Me попадает в семейство {Mg,k}gyk>o тогда и только тогда, когда О(М) = (Llk=1Ti, k) для некоторого k G N, где Ti — торы.
Из теорем 1 и 2 следует, что дополнение семейства {Mg,k}gyk>0 в классе Me не пусто и бесконечно. Таким образом, поставленная в работе задача решена.
Купить