Введение 3
1. Случай внешнего однородного поля, зависящего от времени 5
1.1. Квантование в картине Фарри 5
1.2. Вывод квантовых кинетических уравнений 8
1.3. Пример численного расчета 12
2. Случай внешнего поля, зависящего от времени и одной из координат 15
2.1. Обобщение квантового кинетического подхода 15
2.2. Явный вывод уравнений в случае ступеньки Клейна с временной зависимостью 16
Заключение 21
Список литературы 23
Настоящая работа посвящена такому фундаментальному явлению, как рождение электрон- позитронных пар в присутствии сильных внешних полей, которое было предсказано много лет назад в работах О. Клейна и Ф. Заутера [1, 2]. Под сильным полем в данном контексте понимают такое поле, для которого отношение характерной силы, действующей на электрон, к частоте этого поля в единицах 1/(mc) много больше единицы. Такой режим отвечает туннельному (непертурбативному) процессу, который носит название эффекта Швингера по имени Ю. Швингера, впервые строго описавшего распад вакуума с рождением пар в рамках квантовой электродинамики (КЭД) в своей классической статье [3]. Важно отметить, что между работами [1, 2] и работой [3] был опубликован ряд других важных результатов, наиболее значимым из которых является получение Х. Эйлером и В. Гейзенбергом замкнутого выражение для однопетлевого эффективного действия в присутствии однородного электрического и магнитного полей [4]. Вместе со стремительным развитием методов квантовой теории поля во второй половине прошлого века возникали все более строгие и эффективные теоретические подходы, позволяющие рассматривать более реалистичные модели внешних полей и подробно исследовать различные характеристики процесса, включая дифференциальные плотности распределения рождаемых частиц. Несмотря на это, эффект Швингера еще ни разу не наблюдался экспериментально в силу того, что характерная напряженность электрического поля, необходимая для рождения частиц, имеет порядок Екр = m2c3/(|e|~) ~ 1.3 х 1018 В/м. Данную оценку легко получить, рассмотрев процесс туннелирования частицы из отрицательного континуума в положительный в присутствии потенциала Заутера [2] и перейдя к пределу однородного поля. В настоящий момент максимальная напряженность, которая достигается в лазерных импульсах, примерно на 3 порядка меньше, чем Екр.
Однако, можно ожидать, что с появлением новых лазерных установок интенсивность лазерных импульсов заметно возрастет, что даст возможность экспериментального исследования механизма Швингера в рамках различных сценариев (см., например, обзор [5]). Важно отметить, что наличие осцилляций внешнего поля во времени эффективно снижает требуемое значение напряженности. С точки зрения теории, становится необходимым исследование различных конфигураций внешних полей, что в свою очередь требует развития эффективных непертурбативных методов КЭД. Одним из таких методов является квантование электрон-позитронного поля в картине Фарри [6] с полным учетом взаимодействия с внешним классическим полем. В случае внешнего поля, нарушающего стабильность вакуумного состояния, данный формализм подробно описан в монографии [7]. Оказывается, что в рамках строгой КЭД-теории можно показать, что все необходимые вероятности рождения пар могут быть извлечены из одночастичных решений уравнения Дирака, включающего взаимодействие с внешним полем. Однако есть и альтернативный метод, также основанный на процедуре квантовании в картине Фарри. В рамках так называемого кинетического подхода [8, 9] можно получить замкнутое интегро- дифференциальное уравнение на скалярную функцию времени и импульса, которая на больших временах переходит в плотность распределения рождаемых электронов (позитронов). Численное решение данного интегро-дифференциального уравнения (или эквивалентной ему системы трех дифференциальных уравнений первого порядка) позволяет находить спектр частиц в случае внешнего поля, имеющего произвольную зависимость от времени. Данный метод успешно применялся в течение последних двух десятков лет (см., например, работы [13, 12, 15, 14, 10, 11]), но при этом никогда не учитывалась пространственная зависимость внешнего поля, которая в ряде случаев имеет огромное влияние на качественное и количественное описание процесса [16, 17, 18, 20, 21, 23, 22, 19]. Целью настоящей работы является исследование вопроса о том, возможно ли обобщить метод квантовых кинетических уравнений (ККУ) на случай внешних полей, включающих пространственно-временные неоднородности.
Данная работа состоит из двух частей, первая из которых посвящена ККУ в случае однородного поля, зависящего от времени. Несмотря на то, что вывод ККУ может быть найден в литературе (см. [8, 15, 11]), в данной работе этот вывод представлен в форме, являющейся наиболее удобной для дальнейшего обобщения. Во второй части работы показано в общем случае, каким образом можно модифицировать метод для учета координатной зависимости поля. Для этого необходимо построить полный набор собственных функций одночастичного гамильтониана Дирака, фиксированного в произвольный момент времени. В данной работе в качестве примера рассматривается явный вид этих функций в случае ступеньки Клейна, зависящей от времени. В работе показано, что в результате перехода к базису собственных функций гамильтониана задача сводится к системе уравнений, допускающей эффективное решение численными методами.
В настоящей работе рассматривался процесс рождения электрон-позитронных пар в присутствии сильного электромагнитного поля. Задачей исследования было дальнейшее развитие непертурбативных методов, позволяющих учитывать пространственно-временные неоднородности внешнего поля. В первой части работы был представлен подробный вывод квантовых кинетических уравнений в случае однородного внешнего поля с целью дальнейшего обобщения метода на случай внешнего поля, зависящего от координат. Во второй части работы рассматривалась конфигурация, при которой внешнее поле зависит не только от времени, но и от одной из пространственных координат. С применением основной идеи метода, связанной с использованием инстантонного базиса, были сформулированы уравнения общего вида, позволяющие вычислять необходимые амплитуды. Данные амплитуды (в этом случае, матрицы) на больших временах дают возможность непосредственно вычислить дифференциальные плотности рождаемых частиц. Несмотря на это, представляется крайне затруднительным получить замкнутые уравнения на квадрат модуля соответствующих амплитуд по аналогии со случаем однородного поля. Данная трудность связана с тем, что явный вид инстантонных решений при наличии координатной зависимости внешнего поля неизвестен. Однако в ряде случаев спектр гамильтониана может быть найден аналитически, что позволяет учесть как пространственную зависимость поля, так и временную зависимость. При этом последняя может иметь произвольный вид. В качестве примера рассматривалось внешнее поле в виде ступеньки Клейна с временной зависимостью. Был подробно описан спектр гамильтониана Дирака, т. е. в явном виде предъявлены функции инстантонного базиса. С использованием этих функций и полученных ранее уравнений можно перейти к численному решению задачи, что позволит производить непертурбативные расчеты для широкого класса конфигураций внешних полей. Несмотря на то, что парадокс Клейна активно исследуется уже на протяжении многих десятилетий, описанный в данной работе метод может позволить провести более продвинутые расчеты и получить ряд новых результатов. Разработка соответствующих численных процедур будет произведена в ближайшем будущем.
