1. Введение 4
1.1. Актуальность 4
1.2. Предварительный пример 5
1.3. Структура работы 5
2. Задача о минимизации всплесков в системе управления 7
3. Случай нулевого собственного числа 9
3.1. Поведение решения 9
3.2. Постановка задачи 10
3.3. LMI для инвариантного подпространства 10
4. Движение группы мобильных агентов 12
4.1. Задача о переводе в заданное расположение 12
4.2. Теоретические основы 13
4.3. Ход Алгоритма 14
5. Программное обеспечение 15
6. Пример использования 17
6.1. Случай одного мобильного агента 17
6.2. Случай трех мобильных агентов 17
7. Заключение 23
Список литературы 25
1.1. Актуальность
Теория управления - молодая наука, находящаяся в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды на предмет и основные проблемы данной дисциплины, равно как и используемый математический аппарат. В XIX веке было введено понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости. В 30-е годы в основном рассматривались частотные методы и, соответственно, частотные критерии устойчивости. В 50-е годы произошло обновление в теории управления - появился новый аппарат описания систем - в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению, в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Появились различные требования к функции управления - возможность стабилизации системы при внешних возмущениях [1], робастная стабилизация и т.д., а также различные критерии оптимальности функции управления. Один из таких критериев - скорость сходимости системы к своей точке равновесия. Этот критерий не учитывает поведение решения на ранних этапах сходимости, а смотрит лишь на асимптотическое поведение уравнения. Оказывается, это не всегда допустимо - при определенных условиях, на начальных этапах решение может сильно отклоняться от точки сходимости, причем, как правило, чем больше скорость сходимости - тем больше отклонения. Минимизации таких отклонений и посвящена эта статья.
Основная техника исследования задач в этой статье связана с линейными матричными неравенствами (С. Бойд с соавторами [5], Д. В. Баландин и М. М. Коган [2]) и задачей полуопределенного программирования [11]. Для решения полученных задач разработаны мощные оптимизационные процедуры, основанные на методе внутренней точки [3], [6], [7]. В качестве вычислительного средства были использованы две платформы - система Matlab вместе с программным пакетом SeDuMi [8] и пакетом cvx [9], [10]. А также система ipython notebook для языка python [13] с использованием программных пакетов numpy [14] и picos [15].
1.2.Предварительный пример
Рассмотрим систему управления
| 0 1 0 0 |
x=| 0 0 1 0 | x (1)
| 0 0 0 1 |
|-100 -20000.02 -1000040.0001 -2000.02 |
Собственные числа матрицы этой системы равны А1 = А2 = —1000 и А3 = А4 = —0.01. Норма Евклида решения с начальным положением (0, 0,1, 0) показана на рисунке 1, и с начальным положением (0,1, 0,0) на рисунке 2. Обратите внимание, что сильное отклонение происходит в разные моменты времени t. И величина отклонения, и момент времени, в который оно происходит, зависят от начального положения системы.
1.3.Структура работы
В этой работе в разделе (2) сформулированы ключевые понятия и теоремы. Затем в разделе (3) рассмотрен случай нулевого собственного числа матрицы и способы работы с такими матрицами. Далее в разделе (4) построен алгоритм сходимости в требуемую конфигурацию для агентов, закон движения которых описывается формулой x = v. В разделе (5) описано программное обеспечение, разработанное в ходе выполнения работы. В разделе (6) находятся результаты моделирования для задачи о перемещении группы мобильных агентов в заданное расположение.
Рис. 1: Система (1), x(0) = (0,0,1,0)
Рис. 2: Система (1), x(0) = (0,1, 0,0)
В работе было проведено несколько исследований. Разработан способ применения метода поиска оптимального управления в смысле минимизации величины отклонения системы от точки равновесия к случаю матриц с простым нулевым собственным числом. Также разработана система, решающая задачу перемещения группы мобильных агентов в заданное расположение и применен к ней разработанный метод минимизации отклонений. Написана программа, производящая необходимые вычисления на языке MATLAB и языке python и произведен ряд экспериментов по сравнению движений агентов в соответствии с придуманной системой с и без применения метода минимизации отклонений. Получены улучшения для оптимизированных систем как по скорости сходимости, так и по величине всплесков.
