Тема: Разработка алгоритма выпуклой оптимизации для минимизации всплесков в динамической системе управления

1.1. Актуальность
Теория управления - молодая наука, находящаяся в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды на предмет и основные проблемы данной дисциплины, равно как и используемый математический аппарат. В XIX веке было введено понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости. В 30-е годы в основном рассматривались частотные методы и, соответственно, частотные критерии устойчивости. В 50-е годы произошло обновление в теории управления - появился новый аппарат описания систем - в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению, в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Появились различные требования к функции управления - возможность стабилизации системы при внешних возмущениях [1], робастная стабилизация и т.д., а также различные критерии оптимальности функции управления. Один из таких критериев - скорость сходимости системы к своей точке равновесия. Этот критерий не учитывает поведение решения на ранних этапах сходимости, а смотрит лишь на асимптотическое поведение уравнения. Оказывается, это не всегда допустимо - при определенных условиях, на начальных этапах решение может сильно отклоняться от точки сходимости, причем, как правило, чем больше скорость сходимости - тем больше отклонения. Минимизации таких отклонений и посвящена эта статья.
Основная техника исследования задач в этой статье связана с линейными матричными неравенствами (С. Бойд с соавторами [5], Д. В. Баландин и М. М. Коган [2]) и задачей полуопределенного программирования [11]. Для решения полученных задач разработаны мощные оптимизационные процедуры, основанные на методе внутренней точки [3], [6], [7]. В качестве вычислительного средства были использованы две платформы - система Matlab вместе с программным пакетом SeDuMi [8] и пакетом cvx [9], [10]. А также система ipython notebook для языка python [13] с использованием программных пакетов numpy [14] и picos [15].
1.2.Предварительный пример
Рассмотрим систему управления
| 0 1 0 0 |
x=| 0 0 1 0 | x (1)
| 0 0 0 1 |
|-100 -20000.02 -1000040.0001 -2000.02 |
Собственные числа матрицы этой системы равны А1 = А2 = —1000 и А3 = А4 = —0.01. Норма Евклида решения с начальным положением (0, 0,1, 0) показана на рисунке 1, и с начальным положением (0,1, 0,0) на рисунке 2. Обратите внимание, что сильное отклонение происходит в разные моменты времени t. И величина отклонения, и момент времени, в который оно происходит, зависят от начального положения системы.
1.3.Структура работы
В этой работе в разделе (2) сформулированы ключевые понятия и теоремы. Затем в разделе (3) рассмотрен случай нулевого собственного числа матрицы и способы работы с такими матрицами. Далее в разделе (4) построен алгоритм сходимости в требуемую конфигурацию для агентов, закон движения которых описывается формулой x = v. В разделе (5) описано программное обеспечение, разработанное в ходе выполнения работы. В разделе (6) находятся результаты моделирования для задачи о перемещении группы мобильных агентов в заданное расположение.
Рис. 1: Система (1), x(0) = (0,0,1,0)
Рис. 2: Система (1), x(0) = (0,1, 0,0)
Купить

В работе было проведено несколько исследований. Разработан способ применения метода поиска оптимального управления в смысле минимизации величины отклонения системы от точки равновесия к случаю матриц с простым нулевым собственным числом. Также разработана система, решающая задачу перемещения группы мобильных агентов в заданное расположение и применен к ней разработанный метод минимизации отклонений. Написана программа, производящая необходимые вычисления на языке MATLAB и языке python и произведен ряд экспериментов по сравнению движений агентов в соответствии с придуманной системой с и без применения метода минимизации отклонений. Получены улучшения для оптимизированных систем как по скорости сходимости, так и по величине всплесков.
Купить