Тема: Разработка программного комплекса для численного решения задач оптимального управления с приложением к эпидемиологии

Эпидемиология как наука зародилась еще в древние времена. Опас­ные болезни с глубочайшей древности представляли собой самые тяжелые бедствия человечества. Уже тогда было понятно, что не стоит судить об эпидемиях только на основе знаний об отдельных заболеваниях, поэтому изначально в медицине параллельно с изучением болезней человека шло изучение заболеваемости населения.
В статье «Парадигма современной эпидемиологии» [2] Н.И. Брико описывает основные этапы развития этой науки и их характеристики, а также подчеркивает важность эпидемиологии и доказательной медицины в решении проблем на организменном и популяционном уровнях.
Первой эпидемией, описанной историками, была чума в Афинах в 430—426 годах до нашей эры. Когда в столице древней Греции возникла эпидемия, туда был вызван Гиппократ. Он и является основоположником эпидемиологии как науки. В своих сочинениях «Семь книг об эпидемиях» он описывает факторы, которые влияли на распространение болезни в то время.
Несмотря на то, что эта наука зародилась очень давно, математиче­скому изучению болезней и их распространению примерно 350 лет. Первые статистические исследования инфекционных заболеваний произвел Джон Граунт. В 1663 году он выпустил книгу «Естественные и политические на­блюдения над списками умерших», которая посвящена статистике заболе­ваний. Спустя сто лет Даниэль Бернулли использовал математические ме­тоды для анализа смертности от оспы[7]. Бернулли утверждал, что привив­ка живым вирусом снизит уровень смертности и, следовательно, увеличит популяцию, независимо от того, что сама прививка может быть смертель­ной.
В конце 1800-х годов наука наконец смогла объяснить механизм того, как человек заболевает. Стало известно, что передача заболевания проис­ходит через контакт между инфицированным и здоровым человеком. Это проложило путь для математического моделирования инфекционных за­болеваний.
В 1927 году математическая эпидемиология поднялась на новый уро­вень. Шотландские ученые А. Маккендрик и У. Кермак в своей работе [1] впервые ввели классическую эпидемиологическую модель SIR (susceptible- infected-recovered), которая описывает динамику перехода между здоро­выми, инфицированными и выздоровевшими особями одной популяции. В наше время существует множество вариаций этой модели. В классической монографии «Инфекционные болезни человека. Динамика и контроль» ан­глийских ученых Р. Андерсона и Р. Мэя [14], на её основе построены и исследованы математические модели, описывающие различные варианты взаимоотношений человека с инфекцией на популяционном уровне.
Несмотря на то, что математическая эпидемиология является обще­признанной научной дисциплиной, существует лишь небольшое количество русскоязычной литературы на эту тему. Это особенно заметно в сравнении с количеством соответствующих изданий, выпущенных в последнее время за рубежом. В связи с этим существует потребность в систематизирован­ном изложении основ применения математических методов в биологии для более широкой аудитории. Книга «Динамические системы и модели био­логии» А. С. Братуся, А. С. Новожилова и А. П. Платонова [3] успешно решает эту задачу. В данной книге авторы показывают разнообразие ма­тематических моделей, описывающих биологические сообщества, а также описывают основные математические методы качественного анализа нели­нейных систем.
С конца 1950-х годов официальные лица в области здравоохране­ния уделяют много внимания использованию математических методов для контроля инфекционных заболеваний. Введение антибиотиков, санитарии и прививок принесло хорошие результаты. Тем не менее, такие факторы, как устойчивость к лекарственным препаратам со стороны микроорганиз­мов и увеличение миграции, привели к появлению новых инфекционных заболеваний. Математическое моделирование показывает, что комбинации изоляции, карантина, вакцинации и лечения необходимы для того, что­бы устранить большинство инфекционных болезней. Однако, если управ­ляющее воздействие не будет использовано в нужное время, ликвидация заболеваний останется трудной задачей. Теория оптимального управления оказалась успешным инструментом в понимании способов сокращения рас­пространения инфекционных заболеваний путем разработки оптимальных стратегий вмешательства в развитие эпидемии.
В качестве одного из примеров применения методов оптимального управления приведем статью [5]. В ней авторы О. Шароми и Т. Малик показывают, как можно применить теорию оптимального управления к эпидемиологическим моделям и разработать оптимальную стратегию вме­шательства в эпидемию. Они рассчитывают оптимальную стратегию, на­правленную на сокращение распространения инфекционного заболевания. В статье [4] численные методы оптимального управления были использова­ны для определения оптимальных стратегий инвестирования в различные программы лечения и профилактики.
Купить

В представленной выпускной квалификационной работе были рас­смотрены классические модели распространения эпидемий SIR, представ­ляющая собой систему дифференциальных уравнений, фазовые перемен­ные которой (S — susceptible, I — Infected, R — removed) являются доля­ми некоторой однородной популяции, а сами уравнения отображают ди­намику перемещения особей популяции между этими группами, и SIRS, которая является расширением модели SIR с тем условием, что особи по­пуляции могут не получать долговременный иммунитет. Был установлен критерий возникновения эпидемии и определено базовое репродуктивное число в рамках системы SIR.
На основе классических моделей была предложена новая расширен­ная модель SIRT, учитывающая возможность управления долей заражен­ных индивидуумов, отправленных на лечение.
Для расширенной модели была сформулирована задача поиска оп­тимального управления. Для решения этой задачи в среде Matlab был реализован программный комплекс, основанный на использовании мето­да ортогональных коллокаций. Был проведен ряд численных эспериментов, направленных на вычисление численных аппроксимаций оптимально­го управления для различных постановок задач. Была исследована зави­симость полученных оптимальных управлений от параметров модели и от параметров алгоритма (число коллокационных точек).
Купить