Введение 3
Постановка задачи и цели работы 6
Глава 1. Эпидемиологические модели 7
1.1. Модель эпидемии 7
1.2. Возникновение эпидемии. Основное репродуктивное число 9
1.3. SIR и SIRS модели с учетом демографических процессов 12
1.4. Эпидемиологическая модель с управлением 14
Глава 2. Задача оптимального управления эпидемической моделью 15
2.1. Постановка задачи 15
2.2. Структура программы для численного решения задачи оптимального управления 18
Глава 3. Результаты численных экспериментов 21
Глава 4. Заключение 26
Список литературы 27
Эпидемиология как наука зародилась еще в древние времена. Опасные болезни с глубочайшей древности представляли собой самые тяжелые бедствия человечества. Уже тогда было понятно, что не стоит судить об эпидемиях только на основе знаний об отдельных заболеваниях, поэтому изначально в медицине параллельно с изучением болезней человека шло изучение заболеваемости населения.
В статье «Парадигма современной эпидемиологии» [2] Н.И. Брико описывает основные этапы развития этой науки и их характеристики, а также подчеркивает важность эпидемиологии и доказательной медицины в решении проблем на организменном и популяционном уровнях.
Первой эпидемией, описанной историками, была чума в Афинах в 430—426 годах до нашей эры. Когда в столице древней Греции возникла эпидемия, туда был вызван Гиппократ. Он и является основоположником эпидемиологии как науки. В своих сочинениях «Семь книг об эпидемиях» он описывает факторы, которые влияли на распространение болезни в то время.
Несмотря на то, что эта наука зародилась очень давно, математическому изучению болезней и их распространению примерно 350 лет. Первые статистические исследования инфекционных заболеваний произвел Джон Граунт. В 1663 году он выпустил книгу «Естественные и политические наблюдения над списками умерших», которая посвящена статистике заболеваний. Спустя сто лет Даниэль Бернулли использовал математические методы для анализа смертности от оспы[7]. Бернулли утверждал, что прививка живым вирусом снизит уровень смертности и, следовательно, увеличит популяцию, независимо от того, что сама прививка может быть смертельной.
В конце 1800-х годов наука наконец смогла объяснить механизм того, как человек заболевает. Стало известно, что передача заболевания происходит через контакт между инфицированным и здоровым человеком. Это проложило путь для математического моделирования инфекционных заболеваний.
В 1927 году математическая эпидемиология поднялась на новый уровень. Шотландские ученые А. Маккендрик и У. Кермак в своей работе [1] впервые ввели классическую эпидемиологическую модель SIR (susceptible- infected-recovered), которая описывает динамику перехода между здоровыми, инфицированными и выздоровевшими особями одной популяции. В наше время существует множество вариаций этой модели. В классической монографии «Инфекционные болезни человека. Динамика и контроль» английских ученых Р. Андерсона и Р. Мэя [14], на её основе построены и исследованы математические модели, описывающие различные варианты взаимоотношений человека с инфекцией на популяционном уровне.
Несмотря на то, что математическая эпидемиология является общепризнанной научной дисциплиной, существует лишь небольшое количество русскоязычной литературы на эту тему. Это особенно заметно в сравнении с количеством соответствующих изданий, выпущенных в последнее время за рубежом. В связи с этим существует потребность в систематизированном изложении основ применения математических методов в биологии для более широкой аудитории. Книга «Динамические системы и модели биологии» А. С. Братуся, А. С. Новожилова и А. П. Платонова [3] успешно решает эту задачу. В данной книге авторы показывают разнообразие математических моделей, описывающих биологические сообщества, а также описывают основные математические методы качественного анализа нелинейных систем.
С конца 1950-х годов официальные лица в области здравоохранения уделяют много внимания использованию математических методов для контроля инфекционных заболеваний. Введение антибиотиков, санитарии и прививок принесло хорошие результаты. Тем не менее, такие факторы, как устойчивость к лекарственным препаратам со стороны микроорганизмов и увеличение миграции, привели к появлению новых инфекционных заболеваний. Математическое моделирование показывает, что комбинации изоляции, карантина, вакцинации и лечения необходимы для того, чтобы устранить большинство инфекционных болезней. Однако, если управляющее воздействие не будет использовано в нужное время, ликвидация заболеваний останется трудной задачей. Теория оптимального управления оказалась успешным инструментом в понимании способов сокращения распространения инфекционных заболеваний путем разработки оптимальных стратегий вмешательства в развитие эпидемии.
В качестве одного из примеров применения методов оптимального управления приведем статью [5]. В ней авторы О. Шароми и Т. Малик показывают, как можно применить теорию оптимального управления к эпидемиологическим моделям и разработать оптимальную стратегию вмешательства в эпидемию. Они рассчитывают оптимальную стратегию, направленную на сокращение распространения инфекционного заболевания. В статье [4] численные методы оптимального управления были использованы для определения оптимальных стратегий инвестирования в различные программы лечения и профилактики.
В представленной выпускной квалификационной работе были рассмотрены классические модели распространения эпидемий SIR, представляющая собой систему дифференциальных уравнений, фазовые переменные которой (S — susceptible, I — Infected, R — removed) являются долями некоторой однородной популяции, а сами уравнения отображают динамику перемещения особей популяции между этими группами, и SIRS, которая является расширением модели SIR с тем условием, что особи популяции могут не получать долговременный иммунитет. Был установлен критерий возникновения эпидемии и определено базовое репродуктивное число в рамках системы SIR.
На основе классических моделей была предложена новая расширенная модель SIRT, учитывающая возможность управления долей зараженных индивидуумов, отправленных на лечение.
Для расширенной модели была сформулирована задача поиска оптимального управления. Для решения этой задачи в среде Matlab был реализован программный комплекс, основанный на использовании метода ортогональных коллокаций. Был проведен ряд численных эспериментов, направленных на вычисление численных аппроксимаций оптимального управления для различных постановок задач. Была исследована зависимость полученных оптимальных управлений от параметров модели и от параметров алгоритма (число коллокационных точек).
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
