1 Введение 2
2 Постановка задачи и методика решения 4
3 Бета-распределение 6
3.1 Необходимые понятия теории вероятностей и математической статистики 6
3.2 Бета-распределение 13
4 Модифицированное бета-распределение 15
4.1 Введение понятия модифицированного бета-распределения. Применение принципа максимума энтропии. Вывод системы интегральных уравнений 15
4.2 Результаты и выводы 18
5 Заключение 19
6 Список литературы 20
Все мы знаем, как быстро в 21 веке развивается вычислительная техника, в связи с этим повышаются возможности применения методов таких наук, как теория вероятностей и математическая статистика. И если во время зарождения теории вероятностей ее применение виделось только в страховании и азартных играх, то сейчас её области использования вместе с мат. статистикой практически безграничны. Прикладные возможности этих наук могут поразить не интересующегося человека своими масштабами. В данной работе решается задача моделирования и оценивания параметров для модифицированного бета-распределения случайной величины.
Важность и актуальность этого исследования вытекает из разнообразия случаев использования бета-распределения для решения множества прикладных задач. Применение начинается от рейтинговой оценки фильмов и тестирования средств биометрической аутентификации, до моделирования экстремальных событий, например таких, как уровни наводнений, скорости вихрей, максимума индексов ценных бумаг. Суть моей задачи состоит в том, чтобы имея неполную информацию, получить максимально эффективную оценку ситуации.
Для решения данной задачи будет использован принцип максимума энтропии. В современной формулировке «принцип максимальной энтропии» был выдвинут Э.Т. Джейнсом, начиная с середины пятидесятых. Полное описание принципа приводится в его книге [3], конечная формулировка будет приведена в третьей главе(раздел 3.1). До этого понятие энтропия использовалось в физике для описания термодинамических систем. После формулировки Э.Т. Джейнса принцип максимальной энтропии позволил решать сложные задачи статистики, что и используется в нашем исследовании.
При реализации принципа максимума энтропии используется метод множителей Лагранжа, который позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной. Данный переход позволяет написать решение задачи оптимизации в параметрическом виде. Однако стоит заметить, что после применения метода Лагранжа остается проблема определения параметров.
В данной работе проведено исследование о возможности оценивания параметров распределения с неполной информации. В ходе работы введено и обосновано понятие модифицированного бета-распределения. В результате работы предложен алгоритм получения такого распределения на основе принципа максимума энтропии с использованием метода множителей Лагранжа. Получены эффективные оценки параметров модифицированного бета-распределения. Составлена система интегральных уравнений связывающих параметры плотности модифицированного бета-распределения и эмпирические моменты.
