Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 5
Глава 1. Основные математические модели распространения заболеваний 6
1.1. Классическая SIR-модель (от англ. Susceptible - Infected - Removed) 6
1.2. SEIR-модель (от англ. Susceptible - Exposed - Infected - Removed) 9
Глава 2. Математические модели распространения фитофтороза 12
Глава 3. Разработка моделей 16
3.1. Построение математических моделей 16
3.2. Расширенная модель общей эпидемии 19
3.3. Классическая модель SEIR с учетом рождаемости и смертности 22
Выводы 27
Заключение 28
Приложение 29
Список литературы 32
Картофель - одна из наиболее популярных сельскохозяйственных культур, активно используемая человеком. Данный корнеплод возделывают во многих странах мира, преимущественно в районах северного полушария с умеренным климатом.
Из-за способа выращивания это растение достаточно сильно подвержено различным грибковым заболеваниям. Одним из таких заболеваний является фитофтороз. Он несет особую опасность, потому что легко может перейти с одного растения на другое и достаточно вредоносен. Актуальность борьбы с фитофторозом способствовала тому, что его возбудитель стал самым изучаемым фитопатогенным микроорганизмом в мире.
Эпидемиология болезней растений тесно связана с изучением инфекционных заболеваний человека. Одна из самых первых математических моделей болезни человека была создана еще в 18 веке Бернулли, но лишь через двести лет был начат математический анализ болезней растений [2]. Фитофтороз картофеля занимал видное место в исследованиях Ван дер Планка, и к настоящему времени существует обширная литература по моделям фитофтороза картофеля [3-26].
При выполнении данной работы, были использованы следующие методы: изучение научно-методической литературы, анализ, моделирование. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе приведен обзор основных моделей в общем виде: SIR и SEIR.
Во второй главе рассматриваются математические модели распространения фитофтороза: эмпирические и имитационные. Основное внимание уделено SIR-моделям.
В третьей главе излагается процесс получения новых моделей. Представлены результаты численного моделирования этих математических моделей.
В работе рассмотрены классические модели распространения инфекционных заболеваний: SIR и SEIR. Произведен анализ этих моделей, и на их основе предложены новые SEIR модели прогрессирования фитофтороза, учитывающие вегетативный набор массы и погодные условия. Численно реализовано решение построенных математических моделей. Верифицированы данные модели с учетом экспериментальных данных по потере урожая с 1972 по 2017 года. Отработан алгоритм вычисления благоприятных дней для развития фитофтороза Также найдены и обозначены неточности в формулах литературных источниках: в статье [25] допущена ошибка в формуле расчета благоприятности погодных условий для реинфекции (это выяснилось при обращении к оригинальной статье [29]).
Полученные при моделировании результаты позволили сравнить модели между собой, и показать практическую применимость предлагаемых моделей для прогнозирования потерь урожая. Однако, для более точных прогнозов необходимо экспериментально определить параметры, которые учитывали бы:
• сорт картофеля;
• погодные условия: относительная влажность воздуха, точка росы, количество солнечного света;
• днк особенности фитопатогена;
• пространственное распространение на плоскости (т.е. распространение по полю, включая особенности ландшафта).
Это позволит расширить модель и оптимально подобрать фунгициды и их количество, что является перспективной и важной задачей не только агропромышленности, но и здоровья населения [43, 44].
