Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 6
Глава 1. Линейная задача оптимального управления 8
1.1. Постановка задачи. Сведение к ИЗЛП 8
1.2. Адаптивный метод 11
1.3. Множество достижимости и множество управляемости 14
Глава 2. Нелинейная задача оптимального управления 20
2.1. Метод позиционного управления Габасова 20
2.2. Модификация метода позиционного управления 21
2.3. Обоснование сходимости 25
2.4. Общий алгоритм и программная реализация 29
Глава 3. Примеры приложения модифицированного метода 33
3.1. Управление маятником 33
3.2. Демпфирование колебаний спутника 36
Заключение 40
Список литературы 42
Приложение 44
Среди современных направлений прикладной математики особое место занимает математическая теория управления. В ней изучаются подходы к нахождению управляющего воздействия на динамический процесс для достижения той или иной цели. В данной диссертации рассматривается частный случай такой задачи: построение терминального управления, переводящего систему из одного заданного состояния в другое, либо в некоторое множество допустимых конечных состояний за заданное время. В случае существования нескольких таких управлений среди них выбирается оптимальное, т. е. доставляющее минимум некоторому заданному функционалу (критерию качества) среди всех допустимых управлений. Поиск управлений осуществляется в специальном классе функций — кусочно-постоянном. Для описания динамического процесса используются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Кроме того, большой интерес представляет нахождение управления в режиме реального времени: управление строится одновременно с движением системы и учитывает изменяющиеся внутренние и внешние факторы. Такие задачи имеют широкое распространение в различных сферах: управление количеством топлива, поступающего в двигатель транспортного средства, управление направлением движения беспилотного аппарата, распределение инвестиций в секторы экономики и множество других задач.
Многие процессы управления техническими объектами имеют объективно нелинейный характер, следовательно для их точного моделирования и в последствии управления требуется аппарат построения управления для нелинейных систем.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно аналитическое решение задачи Коши для линейных систем любой размерности: выведена формула Коши. Это привело к развитию методов решения линейных задач управления. Однако, аналитические решения для нелинейных систем дифференциальных уравнений существуют лишь для очень узких видов нелинейностей, что делает невозможным изобретение точных методов нахождения управления для систем с нелинейной правой частью. В данной работе описан метод численного построения управления для нелинейных по фазовым переменным систем при помощи многократной линеаризации правой части системы и нахождения точного оптимального управления для такой системы.
К результатам данной выпускной квалификационной работы можно отнести следующие пункты:
• рассмотрена структура множеств достижимости и управляемости линейной задачи оптимального управления (1.1), предложены способы построения внутренней и внешней оценок;
• изучен метод построения оптимального позиционного управления для нелинейной задачи (1)-(5), предложенный Р. Ф. Габасовым,
• разработана модификация этого метода, основанная на последовательном решении линейных задач с учетом текущего состояния;
• показано, что наиболее точный результат работы модифицированного метода получается при линеаризации системы в начальной точке движения на каждом элементарном отрезке времени;
• доказана сходимость к желаемому состоянию системы в конечный момент времени при увеличении частоты дискретизации кусочно-постоянного управления;
• выведены достаточные условия на правую часть системы, при которых решение окажется в заданной окрестности терминального состояния;
• алгоритм метода реализован в виде блока программ в среде Matlab;
• модифицированный метод апробирован на задаче управления математическим маятником, на примере этой задачи проиллюстрированы предельные свойства метода;
• продемонстрирована работа метода на примере управления вращением искусственного спутника Земли вокруг своей оси, рассмотрен случай управления при воздействии внешних возмущений;
• принято участие на 7 конференциях с последующей публикацией. Три из них проиндексированы в РИНЦ [8, 10, 11], три — в Scopus [9, 13, 14].
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
