Модельная структура на категории алгебр над обогащенной теорией Ловера

1 Введение 2
2 Теория категорий 5
3 Обогащение 8
4 Гомотопическая теория категорий 12
5 Обогащенная модельная структура на категории алгебр 14
Список литературы 15
Купить

Классически, алгебраическая теория - это следующий набор данных:
• множество носителей (или сортов) S
• множество операций O, имеющих dom вида Si х ... х Sn (формальное произведение; может быть пустым — 1) и cod вида Si.
• множество эквациональных аксиом A, т. е. тождеств связывающих операции.
Например, группа - это теория с тремя операциями:
• носитель G
• операции •: G х G ^ G, -1: G ^ G, e: 1 ^ G
• аксиомы a(bc) = (ab)c, aa-1 = e, a-1a = e, ae = a, ea = a
Ясно, что также многие широко известные алгебраические понятия (например, моноиды, кольца, модули) являются алгебраическими теориями. Чуть менее очевидный пример алгебраической тео­рии: симплициальные множества (равно как и предпучки на любой малой категории). При этом, например, области целостности и поля не являются алгебраическими теориями, так как опреде­ляющие их аксиомы невозможно записать в виде соотношений на операции. Последнее связано с тем фактом, что категории полей и областей целостности плохие: например, в них нет почти ни­каких пределов и копределов (в том числе даже произведений и копроизведений). Тем временем любая категория алгебр алгебраической теории биполна, точна (в частности, регулярна), локально представима и имеет проективное генерирующее семейство (см. [Bor94]).
Естественная среда интерпретации алгебраических теорий - категории с конечными произве­дениями: носители рассматриваются как объекты, операции как морфизмы, аксиомы как комму­тативности соответствующих диаграмм. Легко видеть, что на самом деле каждая алгебраическая теория T определяет функтор T: CatProd ^ Cat, где CatProd - 2-категория категорий1, имеющих конечные произведения, и функторов, сохраняющих произведения. Примеры:
1. Группы в категории множеств - обычные группы, Group[Set] = Group.
2. Группы в категории топ. пространств - топологические группы, Group[Top] = TopGroup.
3. Группы в категории гладких многобразиий - группы Ли, Group[Diff] = LieGroup.
4. Группы в категории групп - абелевы группы, Group[Group] = Ab (аргумент Экмана-Хилтона).
5. Функтор Group[n1]: Group[Top] ^ Ab так как п1 сохраняет произведения.
Конечно, приятность возникающих категорий непосредственно ограничена приятностью подле­жащих категорий: свойства, выше упомянутые для категорий алгебраических объектов в Set, не имеют места в общем. Математика, о которой можно говорить в произвольной категории с ко­нечными произведениями, - это в точности алгебра в смысле, определенном выше2. Здесь следу­ет также отметить, что хотя в произвольной категории с произведениями и удается определить любое алгебраическое понятие, мало интересно можно сказать про них. В виду дикости произ­вольных категорий с конечными произведениями, это представляется скорее бесплодной землей, не содержащей ни одного содержательного вопроса. Как минимум от категории математических структур, по-видимому, естественно требовать локально-представимости — это с одной стороны наделяет её множеством категорных совершенств (которые, например, оказываются витальными для теории гомотопий), а, с другой стороны, покрывает, по-видимому, подавляющее большинство реальных категорий, в которых протекает математика (с точностью до замены "поломанных" категорией, таких как Top или (особенно) SmoothManifold на гораздо более полезные категории дельта-порожденных пространств DeltaSp и гладких множеств SmoothSet — здесь обе являются локально-представимыми и декартово-замкнутами, а вторая, более того, является топосом Гро­тендика). Локально представимые категории будут основным контекстом в этой работе. Условие локальной-представимости само по себе недостаточно для того, чтобы интерепртация декарто­вых алгебраических теорий (как они определены выше) в категории приводила к продуктивному понятию (что, например, видно в категории R-Mod, где плодотворна моноидальная структура тензорного произведения, а не декартового), но об этом мы скажем подробнее несколько позже.
Классическое определение алгебраической теории неестественно выделяет некоторое множе­ство исходных операций. Так, эквивалентные по совершенно синтаксическим причинам алгебра­ические теории будут рассматриваться им как разные. Поэтому естественно сформировать по данной алгебраической теории категорию, объекты которой суть формальные произведения C1 х .. х Cn, а морфизмы - все формальные операции между ними, и рассматривать её как инвариант­ное понятие алгебраической теории. Это наблюдение ведет к современному пониманию термина алгебраическая теория:
Определение 1.1. Финитарной алгебраической теорией или теорией Ловера (Lawvere) с множе­ством сортов S называется малая категория T, снабженная существенно биективным сохраняющим произведения функтором (finSet/S)op ^ T. Для алгебраической теории T и категории с конечными произведениями C , категорией T -объектов в C называется категория сохраняющих произведения функторов T ^ C и естественных преобразований между ними.
Финитарная здесь указывает на конечную арность всех операций (можно говорить также о алгебраических теориях ранга Л, где Л регулярный кардинал). T-алгеброй мы будем называть T-объект в Set. Легко видеть, что алгебраическая теория индуцирует финитарную (то есть сохра­няющую фильтрованные копределы) монаду на SetS и монадическое сопряжение Forget: T[Set] ^ SetS: Free. Существенный образ правого функтора называется свободными T-алгебрами, а су­щественный образ (под его действием) подкатегории кортежей конечных множеств называется свободными конечнопорожденными T-алгебрами. Так, (как было фактически отмечено в моти­вации к определению) алгебраическая теория T это просто двойственная категория к категории конечнопорожденных свободных T -алгебр.
На самом деле, 2-категория S-сортных алгебраических теорий эквивалентна 2-категории фини­тарных монад на SetS. В этом смысле понятие алгебраический теории, как оно определено выше, действительно захватывает всю (финитарную) алгебру доступную в SetS. Вот некоторые обычные атрибуты финитарного монадического сопряжения ([Bor94], раздел 4):
• сопряжение Forget — Free, где оба функтора финитарны (что содержательно только для пра­вого Forget, конечно)
• забывающий функтор унивалентен (= инъективен на Hom-множествах) и консервативен (= отражает изоморфизмы)
• категория алгебр биполна (предполагая, что подлежащая категория такова, разумеется — например, если она локально-представима)
Но это очень далеко от истины в других категориях. Если потребовать, для категории с ко­нечными произведениям C потребовать кополноту и дистрибутивность конечные произведений относительно всех копределов, тогда алгебраическая теория по-прежнему индуцирует монадиче­ское сопряжение между категорией T-объектов в C и CS 3. Примером такой категории является любая кополная декартово-замкнутая категория. Но, во-первых, и такие категории вообще говоря имеют финитарные монады, не описываемые алгебраическими теориями. Во-вторых (как было отмечено ранее с R-Mod) есть много естественных категорий, где это условие не выполняется и алгебраические теории (в смысле определенном выше) на самом деле не определяют монад.
Также во контекстах на множествах операций алгебраических объектов имеется естественная дополнительная структура (скажем, это может быть симплициальное множество, (что-то похожее на) топологическое пространство, гладкое многообразие или граф, последнее, например, оказыва­ется полезно в операционной семантике см. [BW20]) и её интересно было бы захватывать.
Эти два наблюдения ведут к понятию V-обогащенной алгебраической теории над базой A, где V замкнутая симметричная моноидальная локально конечно представимая категория, а A V-обогащенная локально конечно представимая категория. Оно было введено Джоном Пауром и Koki Nishizawa в их работе [PN09], где показано, что 2-категории алгебраических V-теорий на A и финитарных V-монад на A канонически эквивалентны. Локально конечная представимость, конечно, является существенным, нежелательным ограничением (например, исключая большую часть топосов Гротендика, в частности, разного рода топосы пространств (гладких, голоморфных, алгебраических)), но для произвольных локально представимых категорий теорию алгебраических теорий над базой ещё предстоит установить (мы планируем сделать это в дальнейшем).
Это работа устроена следующим образом:
• В секции "Теория категорий" мы излагаем стандартный материал о локально-представимых категориях.
• В секции "Обогащение" мы (следуя Пауэру) определяем категории, над которыми будет обогащаться. Мы предлагаем конструкции, дающие много примеров категорий и указываем пока не покрытые ими примеры — это оригинальные результаты работы. Далее мы (следуя упомянутой выше работе) определяем обогащенные алгебраические теории.
• В секции "Гомотопическая теория категорий" мы излагаем стандартный материал о модель­ных категориях и правом трансфере модельной структуры.
• В последней секции мы строим обогащенную модельную структуру на категории алгебр для обогащенной финитарной монады.
Точка зрения алгебраических теорий имеет преимущество над финитарными монадами (и по­этому требует ограничиваться контекстом Пауэра, а не работать в произвольном) в том, что дает возможность определить понятие также гомотопических алгебр, на ряду с обычными. Гомотопи­ческие алгебры естественно возникают во многих контекстах, как об этом прекрасно написано в введении работы [Bad02], в которой устанавливается теорема жесткости: категория гомотопиче­ских алгебр симплициальной алгебраической теории в sSet канонично Квиллен-эквивалентна её категории ординарных алгебр. В дальнейшем мы планируем установить аналогичный результат для категорий обогащенных в V .
Также в дальнейшем планируется определить обогащенные алгебраическии теории для го- категорий и установить связь конструкций.
Купить