Помощь студентам в учебе
Движение малого тела в возмущенном центральном поле
|
Оглавление
Постановка задачи. Обзор работы и использованная литература 4
1. Введение: движение точки в центральном поле Ньютона 8
1.1 Уравнения движения 8
1.2 Центральные потенциалы. Потенциал Ньютона 9
1.3 Решение уравнений движения точки в центральном поле 10
2. Уравнения в вариациях для центрального поля 14
2.1 Уравнения первого приближения 14
2.2 Решение уравнений в вариациях 15
3 Эллиптическая задача двух тел 18
3.1 Основные формулы 18
3.2 Определение элементов орбиты по координатам и скоростям 20
3.3 Определение координат и скоростей по элементам орбиты 22
3.4 Решение уравнения Кеплера 22
3.5 Коррекция исходных данных 22
4. Управляемое малой тягой движение точки в поле Ньютона 24
4.1 Управляемое малой тягой движение в первом приближении 24
4.2 Случай кусочно-полиномиальной малой тяги 26
Заключение и Выводы 30
Литература 32
Приложения I, II, III, IV 34
Приложение I:Алгоритмы и программы для задачи двух тел 34
А. Алгоритмы для эллиптической задачи двух тел 34
B. Программы для эллиптической задачи двух тел 37
Приложение II: Алгоритмы и программы нахождения возмущений 41
A. Алгоритмы при управлении малой тягой 41
B. Программы при управлении малой тягой 44
Приложение III:Схемы отладки программ 47
A .Уравнение движения и уравнения в вариациях при аргументе 47
В. Схема отладки программы для эллиптической задачи двух тел 49
С. Схема отладки программы при управлении малой тягой 50
Приложение IV: Пример – астероид Апофис
Постановка задачи. Обзор работы и использованная литература 4
1. Введение: движение точки в центральном поле Ньютона 8
1.1 Уравнения движения 8
1.2 Центральные потенциалы. Потенциал Ньютона 9
1.3 Решение уравнений движения точки в центральном поле 10
2. Уравнения в вариациях для центрального поля 14
2.1 Уравнения первого приближения 14
2.2 Решение уравнений в вариациях 15
3 Эллиптическая задача двух тел 18
3.1 Основные формулы 18
3.2 Определение элементов орбиты по координатам и скоростям 20
3.3 Определение координат и скоростей по элементам орбиты 22
3.4 Решение уравнения Кеплера 22
3.5 Коррекция исходных данных 22
4. Управляемое малой тягой движение точки в поле Ньютона 24
4.1 Управляемое малой тягой движение в первом приближении 24
4.2 Случай кусочно-полиномиальной малой тяги 26
Заключение и Выводы 30
Литература 32
Приложения I, II, III, IV 34
Приложение I:Алгоритмы и программы для задачи двух тел 34
А. Алгоритмы для эллиптической задачи двух тел 34
B. Программы для эллиптической задачи двух тел 37
Приложение II: Алгоритмы и программы нахождения возмущений 41
A. Алгоритмы при управлении малой тягой 41
B. Программы при управлении малой тягой 44
Приложение III:Схемы отладки программ 47
A .Уравнение движения и уравнения в вариациях при аргументе 47
В. Схема отладки программы для эллиптической задачи двух тел 49
С. Схема отладки программы при управлении малой тягой 50
Приложение IV: Пример – астероид Апофис
Цель работы – построение приближенного аналитического и численного решения уравнений движения малого тела в центральном силовом поле Ньютона при наличии малой кусочно-полиномиальной тяги.
Ставятся задачи:
1. Получить алгоритм построения методом возмущений приближенного аналитического решения уравнений возмущенного движения малого тела в прямоугольных относительных координатах.
2. Применить этот алгоритм для получения приближенных формул для координат малого тела, явно зависящих от параметров малой кусочно-полиномиальной тяги.
3. Создать и отладить соответствующую программу на языке WolframMathematica.
4. В качестве примера рассмотреть управляемое квадратичной малой тягой движение астероида Апофис.
Обзор работы и использованная литература
Работа состоит из 4 глав, раздела «Заключение и Выводы», а также списка литературы из 18наименований, четырех приложений и двух рисунков. Основные теоретические результаты настоящей работы содержатся во второй и четвертой главах, а соответствующие алгоритмы, про-граммы и пример – в четырех приложениях.
Работа продолжает бакалаврскую ВКР автора, защищенную в СПбГУ в 2015 году. Материал глав 1, 2 настоящей ВКР частично пересекается с той бакалаврской ВКР.
Первая глава содержит необходимый материал о движении точки в центральном силовом поле и состоит из трех параграфов. В §1.1 рассматриваются уравнения движения материальной точки в центральном поле. В §1.2 рассматриваются эти уравнения в терминах потенциалов и, в частности, потенциала Ньютона. В §1.3 приводятся два способа решения уравнений движения точки в центральных полях.
В первой главе использовалась литература: [1, 5, 10, 11, 13, 14].
Вторая глава содержит два параграфа и посвящена специальному методу решения уравнений в вариациях для произвольных центральных полей. В §2.1 выводятся уравнения первого приближения для движения материальной точки в произвольном центральном поле. В §2.2 излагается новое решение этих уравнений (уравнений в вариациях), предложенное в работах [6, 7, 8, 9].Оно основано на введении уравнения относительно некоторой функции s, что позволяет расщепить исходную систему уравнений в вариациях шестого порядка на четыре отдельных уравнения второго порядка.
Во второй главе использовалась литература: [2, 3, 6, 7, 10].
Третья глава, состоящая из пяти параграфов, посвящена эллиптической задаче двух тел. В ней рассматриваются основные формулы, способ определения элементов орбиты по координатам и скоростям и способ определения координат и скоростей по элементам орбиты. Кроме того, рассматривается простейший способ приближенного решения уравнения Кеплера и предлагается способ малой коррекции начальных данных, позволяющей упростить алгоритм нахождения элементов орбиты.
В третей главе использовалась литература: [1, 10, 11, 13, 14].
В четвертой главе – 2 параграфа. В §4.1 на основе результатов второй главы выводятся формулы, представляющие в первом приближении управляемое малой тягой движение материальной точки в поле Ньютона. В §4.2 рассматривается случай кусочно-полиномиальной малой тяги.
В четвертой главе использовалась литература: [1-4, 6-12, 15- 17].
В приложениях I-IVпредлагаются алгоритмы и программы, реализующие результаты четвертой главы и рассматривается пример (управляемое квадратичной малой тягой движение астероида Апофис). Программы написаны на языке WolframMathematica [18].
Краткое описание использованной литературы
[1] – это наиболее полное справочное руководство по небесной механике и астродинамике пяти известных московских и санкт-петербургских профессоров, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения из задачи двух тел;
[2] – это статья профессора Балтийского Государственного Технического Университета (бывший Военмех), в ней был предложен метод решения уравнений в вариациях для центральных полей;
[3]– это статья профессора факультета ПМ-ПУ, посвященная аналитическим планетным методам, из этого источника в ВКР использовалась идея решения уравнений в вариациях для центральных силовых полей;
[4] – это монография научного руководителя ВКР с соавтором, посвященная оптимизации движения механических систем при кусочно-постоянных управлениях, из этого источника использовалась идея рас-смотрения кусочно-непрерывных управлений в космической динамике.
[5]– это курс лекций по классической механике, читаемый на факультете ПМ-ПУ студентам направления «прикладная математика – процессы управления», из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения о движении материальной точки в центральных полях;
[6, 7]– это статьи автора ВКР с тремя соавторами, в которых предложен и исследован новый метод решения уравнений в вариациях для цен-тральных полей, он излагается во второй главе ВКР;
[8, 9] – это статьи автора ВКР с тремя соавторами, посвященные интегрированию уравнений движения точки в центральном поле.
[10] – это фундаментальная монография двух американских авторов по прикладной небесной механике, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения о задаче двух тел (3 глава) и методах возмущений (2 и 4 главы);
[11] –– это третье издание монографии по небесной механике, написанное известным профессором МГУ, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения о задаче двух тел;
[12] – это статья сотрудника Института Теоретической Астрономии АН СССР, в которой исследуется движение астероида Церера;
[13] – это фундаментальная монография по теоретической астрономии, написанная выдающимся санкт-петербургским небесным механиком, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения об эллиптической задаче двух тел;
[14] – это современная монография по задаче двух тел, написанная двумя авторами Мат-Мех СПбГУ, из этого источника в ВКР использовались некоторые сведения из задачи двух тел;
[15, 16] – монографии американских небесных механиков, посвященные задаче двух тел и методам возмущений, в ВКР из этих работ используются формулы для разложения в ряды степеней расстояний до цен-трального тела;
[17]– это фундаментальная статья американского специалиста по теории возмущений, в которой был предложен «метод Хилла» вычисления абсолютных планетных возмущений;
[18] – это адрес сайта системы компьютерной алгебры WolframMathema-tica, все программы ВКР написаны в рамках этой системы.
Ставятся задачи:
1. Получить алгоритм построения методом возмущений приближенного аналитического решения уравнений возмущенного движения малого тела в прямоугольных относительных координатах.
2. Применить этот алгоритм для получения приближенных формул для координат малого тела, явно зависящих от параметров малой кусочно-полиномиальной тяги.
3. Создать и отладить соответствующую программу на языке WolframMathematica.
4. В качестве примера рассмотреть управляемое квадратичной малой тягой движение астероида Апофис.
Обзор работы и использованная литература
Работа состоит из 4 глав, раздела «Заключение и Выводы», а также списка литературы из 18наименований, четырех приложений и двух рисунков. Основные теоретические результаты настоящей работы содержатся во второй и четвертой главах, а соответствующие алгоритмы, про-граммы и пример – в четырех приложениях.
Работа продолжает бакалаврскую ВКР автора, защищенную в СПбГУ в 2015 году. Материал глав 1, 2 настоящей ВКР частично пересекается с той бакалаврской ВКР.
Первая глава содержит необходимый материал о движении точки в центральном силовом поле и состоит из трех параграфов. В §1.1 рассматриваются уравнения движения материальной точки в центральном поле. В §1.2 рассматриваются эти уравнения в терминах потенциалов и, в частности, потенциала Ньютона. В §1.3 приводятся два способа решения уравнений движения точки в центральных полях.
В первой главе использовалась литература: [1, 5, 10, 11, 13, 14].
Вторая глава содержит два параграфа и посвящена специальному методу решения уравнений в вариациях для произвольных центральных полей. В §2.1 выводятся уравнения первого приближения для движения материальной точки в произвольном центральном поле. В §2.2 излагается новое решение этих уравнений (уравнений в вариациях), предложенное в работах [6, 7, 8, 9].Оно основано на введении уравнения относительно некоторой функции s, что позволяет расщепить исходную систему уравнений в вариациях шестого порядка на четыре отдельных уравнения второго порядка.
Во второй главе использовалась литература: [2, 3, 6, 7, 10].
Третья глава, состоящая из пяти параграфов, посвящена эллиптической задаче двух тел. В ней рассматриваются основные формулы, способ определения элементов орбиты по координатам и скоростям и способ определения координат и скоростей по элементам орбиты. Кроме того, рассматривается простейший способ приближенного решения уравнения Кеплера и предлагается способ малой коррекции начальных данных, позволяющей упростить алгоритм нахождения элементов орбиты.
В третей главе использовалась литература: [1, 10, 11, 13, 14].
В четвертой главе – 2 параграфа. В §4.1 на основе результатов второй главы выводятся формулы, представляющие в первом приближении управляемое малой тягой движение материальной точки в поле Ньютона. В §4.2 рассматривается случай кусочно-полиномиальной малой тяги.
В четвертой главе использовалась литература: [1-4, 6-12, 15- 17].
В приложениях I-IVпредлагаются алгоритмы и программы, реализующие результаты четвертой главы и рассматривается пример (управляемое квадратичной малой тягой движение астероида Апофис). Программы написаны на языке WolframMathematica [18].
Краткое описание использованной литературы
[1] – это наиболее полное справочное руководство по небесной механике и астродинамике пяти известных московских и санкт-петербургских профессоров, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения из задачи двух тел;
[2] – это статья профессора Балтийского Государственного Технического Университета (бывший Военмех), в ней был предложен метод решения уравнений в вариациях для центральных полей;
[3]– это статья профессора факультета ПМ-ПУ, посвященная аналитическим планетным методам, из этого источника в ВКР использовалась идея решения уравнений в вариациях для центральных силовых полей;
[4] – это монография научного руководителя ВКР с соавтором, посвященная оптимизации движения механических систем при кусочно-постоянных управлениях, из этого источника использовалась идея рас-смотрения кусочно-непрерывных управлений в космической динамике.
[5]– это курс лекций по классической механике, читаемый на факультете ПМ-ПУ студентам направления «прикладная математика – процессы управления», из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения о движении материальной точки в центральных полях;
[6, 7]– это статьи автора ВКР с тремя соавторами, в которых предложен и исследован новый метод решения уравнений в вариациях для цен-тральных полей, он излагается во второй главе ВКР;
[8, 9] – это статьи автора ВКР с тремя соавторами, посвященные интегрированию уравнений движения точки в центральном поле.
[10] – это фундаментальная монография двух американских авторов по прикладной небесной механике, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения о задаче двух тел (3 глава) и методах возмущений (2 и 4 главы);
[11] –– это третье издание монографии по небесной механике, написанное известным профессором МГУ, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения о задаче двух тел;
[12] – это статья сотрудника Института Теоретической Астрономии АН СССР, в которой исследуется движение астероида Церера;
[13] – это фундаментальная монография по теоретической астрономии, написанная выдающимся санкт-петербургским небесным механиком, из этого источника в ВКР использовались, в основном, сведения об эллиптической задаче двух тел;
[14] – это современная монография по задаче двух тел, написанная двумя авторами Мат-Мех СПбГУ, из этого источника в ВКР использовались некоторые сведения из задачи двух тел;
[15, 16] – монографии американских небесных механиков, посвященные задаче двух тел и методам возмущений, в ВКР из этих работ используются формулы для разложения в ряды степеней расстояний до цен-трального тела;
[17]– это фундаментальная статья американского специалиста по теории возмущений, в которой был предложен «метод Хилла» вычисления абсолютных планетных возмущений;
[18] – это адрес сайта системы компьютерной алгебры WolframMathema-tica, все программы ВКР написаны в рамках этой системы.
Перечислим полученные в работе результаты и обсудим перспективы их дальнейшей разработки.
Полученные автором результаты:
1. В разделе 2.2 второй главы описан новый метод решения уравнений в вариациях для произвольного центрального поля, предложенный автором и тремя соавторами в работах [6,7].
2. В разделе 3 собраны в необходимом для данного исследования виде формулы по алгоритмам задачи двух тел: определение элементов ор-биты по координатам и скоростям; определение координат и скоростей по элементам орбиты. Для упрощения алгоритмов предложена процедура коррекции исходных данных.
3. В разделе 4(на основе результатов раздела 2) получены новые формулы вычисления возмущений в прямоугольных относительных ко-ординатах для задачи о нахождении управляемого малой тягой движения точки в поле Ньютона. Эти формулы могут использоваться как для получения аналитических приближенных формул для возмущений, так и для численных расчетов. В первом случае предполагается, что малая тяга - кусочно-полиномиальная по истинной аномалии функция, а при численных расчетах на малую тягу никаких ограничений, кроме кусочной непрерывности не накладывается.
4. В разделе 4.2рассмотрен случай кусочно-полиномиальной по истинной аномалии малой тяги и предложен соответствующий алгоритм вычисления возмущений.
5. На основе упомянутых выше результатов в Приложениях I, II, III, IV предложены:
– Алгоритмы для эллиптической задачи двух тел.
–Программы для эллиптической задачи двух тел.
–Алгоритмы нахождения возмущений при управлении малой тягой.
–Программы нахождения возмущений при управлении малой тягой.
–Пример: астероид Апофис.
Перспективы. Говоря о перспективах продолжения настоящей работы, естественно отметить три ее направления:
– Применение предложенного метода возмущений к различным реальным задачам.
–Оценка величины необходимой малой тяги.
– Применение этого метода в реальных задачах о нахождении возмущений в координатах малых тел, движущихся в неньютоновых цен-тральных полях под действием малой тяги той или иной структуры.
– Постановка и решение различных задач управления движением тела.
Полученные автором результаты:
1. В разделе 2.2 второй главы описан новый метод решения уравнений в вариациях для произвольного центрального поля, предложенный автором и тремя соавторами в работах [6,7].
2. В разделе 3 собраны в необходимом для данного исследования виде формулы по алгоритмам задачи двух тел: определение элементов ор-биты по координатам и скоростям; определение координат и скоростей по элементам орбиты. Для упрощения алгоритмов предложена процедура коррекции исходных данных.
3. В разделе 4(на основе результатов раздела 2) получены новые формулы вычисления возмущений в прямоугольных относительных ко-ординатах для задачи о нахождении управляемого малой тягой движения точки в поле Ньютона. Эти формулы могут использоваться как для получения аналитических приближенных формул для возмущений, так и для численных расчетов. В первом случае предполагается, что малая тяга - кусочно-полиномиальная по истинной аномалии функция, а при численных расчетах на малую тягу никаких ограничений, кроме кусочной непрерывности не накладывается.
4. В разделе 4.2рассмотрен случай кусочно-полиномиальной по истинной аномалии малой тяги и предложен соответствующий алгоритм вычисления возмущений.
5. На основе упомянутых выше результатов в Приложениях I, II, III, IV предложены:
– Алгоритмы для эллиптической задачи двух тел.
–Программы для эллиптической задачи двух тел.
–Алгоритмы нахождения возмущений при управлении малой тягой.
–Программы нахождения возмущений при управлении малой тягой.
–Пример: астероид Апофис.
Перспективы. Говоря о перспективах продолжения настоящей работы, естественно отметить три ее направления:
– Применение предложенного метода возмущений к различным реальным задачам.
–Оценка величины необходимой малой тяги.
– Применение этого метода в реальных задачах о нахождении возмущений в координатах малых тел, движущихся в неньютоновых цен-тральных полях под действием малой тяги той или иной структуры.
– Постановка и решение различных задач управления движением тела.