Тема: Функционально непрерывные методы Рунге — Кутты с FSAL

Методы Рунге–Кутты являются самым распространенным инструментом для решения дифференциальных уравнений и их систем. Довольно большое число задач можно решать явными методами Рунге — Кутты. Однако с увеличением их порядка точности экспоненциально растет количество необходимых вычислений, что негативно сказывается на быстродействии вычислительных систем.
Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и более общих функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ФДУЗТ), необходимо использовать так называемые непрерывные расширения методов Рунге — Кутты [1], позволяющие вычислять решение в произвольных точках в прошлом, даже если эти точки ещё находятся внутри совершаемого шага (ситуация, называемая «перекрытием»). Для этого случая в работах[2], [3]представлены функционально непрерывные методы Рунге — Кутты (ФНРК), позволяющие сохранить полную явность реализации.
Количество этапов (вычислений правой части уравнения, определяющее трудоёмкость совершения одного шага), необходимых для достижения определённого порядка таких методов, куда больше, чем у методов Рунге — Кутты для обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время, представленные в [2], [3] методы допускают уменьшение количества требуемых этапов за счёт использования последнего этапа предыдущего шага в качестве первого этапа на текущем шаге. Этот приём называется в литературе «первый равен последнему» (firstsameaslast, FSAL)[4]или «повторное использование» (reuse) [5].
Мы построим ФНРК со свойством FSAL для дифференциальных уравнений с запаздыванием. Относительно методов РК для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)в функционально непрерывных методах вектор весов b∈R^sи матрица коэффициентов A∈R^(s×s)заменены вектором R^sи матрицей R^(s×s)полиномиальных функций соответственно. Следует отметить, что данные методы для уравнений с запаздыванием отличаются от непрерывных методов РК, в которых только вектор весов заменен полиномиальными функциями. В свою очередь, свойство FSALпозволяет уменьшить необходимое количество вычислений правой части дифференциальной системы, тем самым повысив производительность метода.
Следуя [2] введем несколько обозначений:
Пусть r∈[0,∞)и Cесть пространство непрерывных функций [–r,0]→R^d, на которых введена максимальная норма
‖ϕ‖= max┬(θ∈[-r,0])⁡〖|ϕ(θ)|〗,ϕ∈C,
где |⋅| —произвольная норма на R^d.
Для непрерывной функции u:[a-r,b)→R^dи t∈[a,b), где a u_t (θ)=u(t+θ),θ∈[-r,0].
Постановка задачи
Вывести условия порядка для ФНРК с FSAL
Построить методы 3 и 4 порядка
Сравнить производительность полученных методов с известными методами, полученными в статье [3].
 

Купить

Мы вывели условия для обеспечения 2, 3 и 4 порядка для функционально-непрерывных методов с FSAL. На основе данных условий были построены методы 3 и 4 порядка сходимости. Эти методы были реализованы програмно, их производительность была сопоставлена с результатами работы методов Масета [3] соответствующего порядка.
Купить