Введение 3
Постановка задачи 4
Глава 1. Условия порядка для ФНРК методов с FSAL. 5
1.1 Общие положения 7
1.2 Второй порядок 8
1.3 Третий порядок 8
1.4 Четвертый порядок 9
Глава 2. Конструирование явных ФНРК методов с FSAL 11
2.1 Третий порядок 11
2.2 Четвертый порядок 12
Глава 3. Эксперименты 20
Выводы 24
Заключение 24
Список литературы 25
Методы Рунге–Кутты являются самым распространенным инструментом для решения дифференциальных уравнений и их систем. Довольно большое число задач можно решать явными методами Рунге — Кутты. Однако с увеличением их порядка точности экспоненциально растет количество необходимых вычислений, что негативно сказывается на быстродействии вычислительных систем.
Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и более общих функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ФДУЗТ), необходимо использовать так называемые непрерывные расширения методов Рунге — Кутты [1], позволяющие вычислять решение в произвольных точках в прошлом, даже если эти точки ещё находятся внутри совершаемого шага (ситуация, называемая «перекрытием»). Для этого случая в работах[2], [3]представлены функционально непрерывные методы Рунге — Кутты (ФНРК), позволяющие сохранить полную явность реализации.
Количество этапов (вычислений правой части уравнения, определяющее трудоёмкость совершения одного шага), необходимых для достижения определённого порядка таких методов, куда больше, чем у методов Рунге — Кутты для обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время, представленные в [2], [3] методы допускают уменьшение количества требуемых этапов за счёт использования последнего этапа предыдущего шага в качестве первого этапа на текущем шаге. Этот приём называется в литературе «первый равен последнему» (firstsameaslast, FSAL)[4]или «повторное использование» (reuse) [5].
Мы построим ФНРК со свойством FSAL для дифференциальных уравнений с запаздыванием. Относительно методов РК для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)в функционально непрерывных методах вектор весов b∈R^sи матрица коэффициентов A∈R^(s×s)заменены вектором R^sи матрицей R^(s×s)полиномиальных функций соответственно. Следует отметить, что данные методы для уравнений с запаздыванием отличаются от непрерывных методов РК, в которых только вектор весов заменен полиномиальными функциями. В свою очередь, свойство FSALпозволяет уменьшить необходимое количество вычислений правой части дифференциальной системы, тем самым повысив производительность метода.
Следуя [2] введем несколько обозначений:
Пусть r∈[0,∞)и Cесть пространство непрерывных функций [–r,0]→R^d, на которых введена максимальная норма
‖ϕ‖= max┬(θ∈[-r,0])〖|ϕ(θ)|〗,ϕ∈C,
где |⋅| —произвольная норма на R^d.
Для непрерывной функции u:[a-r,b)→R^dи t∈[a,b), где a
u_t (θ)=u(t+θ),θ∈[-r,0].
Постановка задачи
Вывести условия порядка для ФНРК с FSAL
Построить методы 3 и 4 порядка
Сравнить производительность полученных методов с известными методами, полученными в статье [3].
Мы вывели условия для обеспечения 2, 3 и 4 порядка для функционально-непрерывных методов с FSAL. На основе данных условий были построены методы 3 и 4 порядка сходимости. Эти методы были реализованы програмно, их производительность была сопоставлена с результатами работы методов Масета [3] соответствующего порядка.
