Введение 3
Глава 1. Постановка задачи 5
1.1. Математическая модель системы магнитной левитации 5
1.2. Постановка задачи синтеза оптимального стабилизирующего
робастного управления 8
1.3. Обзор литературы 10
Глава 2. Синтез робастных регуляторов для системы магнитной
левитации 11
2.1. Синтез линейно-квадратичного регулятора 11
2.2. Синтез робастного управления с использованием
прогнозирующей модели 15
Глава 3. Практическая реализация 21
3.1. Программный комплекс 21
3.2. Результаты имитационного моделирования 24
Выводы 31
Список литературы 32
Приложение 34
В настоящее время повсеместно используются системы с автоматическим управлением. В первую очередь всегда встает вопрос построения математической модели системы. К сожалению, математическая модель не может абсолютно точно описать систему в силу ряда причин [1]. К наиболее существенным из них относятся следующие:
часть данных, используемых в решении задачи, неизвестны заранее, то есть мы располагаем только предсказаниями, которые, как известно, в любом случае имеют некоторое отклонение от реальных данных;
в некоторых случаях нет возможности измерить данные с необходимой точностью, мы знаем их значения лишь приблизительно;
так называемые «ошибки реализации», то есть невозможность реализовать на практике полученное решение с высокой точностью.
По причине неточности данных возникает вопрос о том, как учитывать подобные особенности системы при построении управления. Данная область исследований очень важна и актуальна, так как неточность данных встречается в огромном количестве практических задач в разных сферах деятельности. Для решения подобных проблем используются различные методы робастного управления. В данной работе будут рассмотрены два варианта синтеза робастного управления. Первый из них – это LQR-синтез (линейно-квадратичный регулятор) с заданием допустимого частотного коридора вариации математической модели объекта. Второй вариант заключается в синтезе робастного управления с использованием прогнозирующей модели (ModelPredictiveControl, MPC). Также будет проведен анализ полученных результатов и сравнение указанных методов.
В работе будет рассматриваться построение управления на примере системы магнитной левитации. Система магнитной левитации представляет собой стальной шарик, который находится в воздухе и на который действует две силы: F_g – сила тяжести и F_m – сила притяжения электромагнита. Система магнитной левитации использует магнитное поле для удержания шарика в воздухе в заданной точке. Если шарик находится далеко от электромагнита, то тогда магнитное поле становится не в силах удерживать шарик. Если же шарик находится слишком близко к магниту, тогда магнитное поле становится слишком сильным и заставляет его двигаться по направлению к магниту до соприкосновения с ним. Управляя напряжением, подаваемым на электромагнит, требуется стабилизировать шарик в заданном положении, используя силу притяжения для уравновешивания силы тяжести.
Важно отметить, что математическое описание действия магнитного поля в рассматриваемой системе является крайне сложным и позволяет получить только приближенные модели. В связи с этим для решения задач управления с обеспечением требуемых свойств замкнутой системы необходимо использовать робастные подходы к синтезу законов управления.
На данный момент, в мире активно разрабатывается использование магнитной левитации для создания поездов на магнитной подушке, магнитных подшипников и маховиков. Поэтому тема синтеза управления для систем магнитной левитации актуальна и важна для дальнейшего развития и воплощения в жизнь подобного рода технологий.
В ходе выполнения работы получены следующие результаты:
Построена математическая модель системы магнитной левитации.
Построены два варианта законов автоматического управления, стабилизирующие нулевое положение равновесия системы, математическая модель которой имеет неточности.
Разработан имитационно-моделирующий комплекс и проведен сравнительный анализ двух способов синтеза управления.
Сравнительный анализ показал, что использование робастного управления на основе MPC-подхода позволяет значительно быстрее стабилизировать систему магнитной левитации как при номинальном значении коэффициентаa_21, который задан неточно, так и при значениях данного коэффициента, составляющих 80% и 120% от номинального.
Стоит отметить, что варьируя некоторые параметры при синтезе регулятора на основе MPC-подхода и вводя ограничения на колебательность процессов, возможно улучшить качество управления.
