Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 4
Глава 1. Математические модели распространения заболеваний 6
1.1. Модель эпидемии без учёта изменчивости возбудителя (модель Кермака - Мак Кендрика 6
1.2. Модель Кермака – Мак Кендрика с учётом смертности и рождаемости 7
1.3. Модель эпидемии с учётом латентной фазы и потерей иммунитета (модель Ринальда) 8
1.4. Модель Ринальда с учётом летальности 9
1.5. Составление математической модели 10
Глава 2. Численное моделирование 15
2.1. Модель Кермака – Мак Кендрика и её модификация с учётом смертности и рождаемости 16
2.2. Модель Ринальда 18
2.3. Модель Ринальда с учётом летальности и её модификация с учётом смертности и рождаемости 19
2.4. Сравнение математических моделей 21
2.5. Предсказание начала эпидемии 23
Выводы 25
Заключение 26
Список литературы 27
Приложение
Эпидемия Гонконгского гриппа 1968 года была пандемией гриппа второй категории, в результате которой в 1968 и 1969 годах погибло около миллиона человек, а переболел гриппом каждый второй житель Земли. В 2016 году была предсказана новая вспышка Гонконгского гриппа в России зимой 2016–2017 гг.
В данной работе поставлена цель проанализировать ситуацию в Санкт-Петербурге и с помощью математических моделей распространения заболеваний предсказать эпидемиологическую ситуацию в данном регионе.
Математическое моделирование заболеваний является основой для прогнозирования и оценки динамики распространения заболевания. Для сдерживания и контроля эпидемии, важно рассматривать качественные и адекватные математические модели эпидемии. В настоящее время благодаря достижениям в области математического моделирования это является реализуемой задачей.
Для построения математической модели болезни необходимо рассмотреть процесс её протекания. Для Гонконгского гриппа инкубационный период, то есть количество времени от заражения до проявления первых симптомов, составляет 1–2 дня. Резервуар инфекции — больной человек, который является максимально заразным в разгар болезни. Этот опасный для окружающих период в среднем длится 4–7 дней. Распространяется инфекция воздушно-капельным путем от больного во время кашля, разговора и чихания.
Существуют различные математические модели эпидемий. В работе в основном будут рассмотрены модель Кермака – Мак Кендрика и модель Ринальда, а также их модификации.
Целью данной работы являются:
• Рассмотрение математических моделей распространения инфекционных заболеваний, в частности – модели Кермака Мак – Кендрика и модели Ринальда.
• Построение математической модели распространения Гонконгского гриппа на основе рассматриваемых моделей
• Численное моделирование рассматриваемых математических моделей с реальными статистическими данными и сравнение полученных результатов
• Предсказание эпидситуации в Санкт-Петербурге на основании полученных моделей
В данной работы были рассмотрены модели распространения заболеваний Кермака – Мак Кендрика и Ринальда, а также их модификации с учётом смертности и рождаемости, а для модели Ринальда также с учётом возможности летального исхода.
С помощью общих данных о заболевании, а также статистики эпидемии 1968–1969 годов реализовано численное моделирование возможной эпидемии Гонконгского гриппа в Санкт-Петербурге в среде MATLAB. Произведено сравнение двух моделей и их модификаций, а также наглядно показан процесс распространения заболевания.
Сделаны выводы об условиях возникновения эпидемий для обоих моделей, если принять, что эпидемия начинается при возрастании числа больных. Также показано, что эпидемия Гонконгского гриппа заканчивается через определенное время без стороннего вмешательства.
