Введение 3
Глава 1 Теоретические основы обучения старшеклассников работе над математическими ошибками 9
1.1 Понятие и виды математических ошибок 9
1.2 Причины появления математических ошибок у старшеклассников в процессе обучения 14
1.3 Приемы и методы работы над математическими ошибками 25
1.4 Средства обучения старшеклассников работе над математическими ошибками 30
Глава 2 Проектирование примеров и контрпримеров как средства обучения старшеклассников работе над математическими ошибками 39
2.1 Принципы проектирования системы задач (примеров и контрпримеров) по математике 39
2.2 Система задач (примеров и контрпримеров) по алгебре и началам анализа как средство обучения и самоконтроля над ошибками 50
2.3 Система задач (примеров и контрпримеров) по геометрии как средство обучения и самоконтроля над ошибками 60
2.4 Педагогический эксперимент и его результаты 75
Заключение 86
Список используемой литературы и используемых источников 89
Приложение А Соотношение видов деятельности обучающихся на этапах проблемного урока и результатов формирования навыков работы над ошибками 97
Актуальность и научная значимость настоящего исследования. Преодоление сложностей и работа над ошибками являются неотъемлемой частью изучения математики на всех ступенях образовательного процесса старшей школы. В условиях наблюдающегося процесса снижения общего количества часов, выделяемого для изучения математики, особую значимость приобретает эффективность работы над математическими ошибками. Умение своевременно обнаружить допущенные неточности и правильно решить задачу является залогом повышения предметных компетенций обучающихся.
Большинство школьников зачастую встречаются с определенными трудностями в процессе работы над ошибками, поскольку для ее выполнения следует найти и определить данные ошибки и неточности и справить их согласно математическим правилам и установленным требованиям оформления работ.
Данный факт говорит о том, что необходимо совершенствование методологических подходов в отношении освоения детьми правил и методов работы над ошибками по математике, ведь умение самостоятельно находить и исправлять ошибки важно в целях дальнейшего успешного завершения школы.
Этим и определяется значимость и актуальность выбранной нами темы.
Сегодня успешная реализация педагогами согласно образовательным стандартам [59], личностно-ориентированного подхода в обучении просто невозможна без учебно-познавательной работы самих учащихся.
Актуальность темы обусловлена еще и тем, что работа с математическими ошибками, как неотъемлемая часть образовательного процесса, осваиваемая в течение всего обучения в школе, выступает важным средством, способствующим развитию у школьников интерес не только к математике, но и к другим предметам естественнонаучной направленности. Ведь полноценное изучение большинства современных наук, физико-математических, химико-биологических, социально-экономических, невозможно без навыков и умений устранять допущенные мыслительно - логические и вычислительные ошибки.
Сегодня можно назвать выделить несколько направлений, в которых учеными рассматривается проблематика данной работы:
• изучение возможных причин возникновения математических ошибок у старшеклассников [6],[10], [17],[18], [38];
• исследование различных направлений методической работы с математическими ошибками [1], [20-21],[26], [32], [37], [64];
• разработка систем задач, направленных на предупреждение математических ошибок [7], [8], [12], [46],[52], [56];
• анализ различных аспектов учебно-познавательной деятельности в процессе работы с математическими ошибками и типологизации самих ошибок [11], [15], [22], [28],[34], [63], [68].
Констатирующий этап эксперимента и анализ практики обучения математике свидетельствуют о наличии противоречия между потребностью школьной практики в совершенствовании методической работы с математическими ошибками старшеклассников и её фактическим состоянием. Данное противоречие позволило сформулировать проблему диссертационного исследования: какова методика обучения старшеклассников работе над математическими ошибками.
Объект исследования: процесс обучения математике в общеобразовательной школе.
Предмет исследования: методика обучения старшеклассников работе над математическими ошибками.
Цель исследования: обосновать методику обучения старшеклассников работе над математическими ошибками.
Гипотеза исследования состоит в том, что методика обучения старшеклассников работе над математическими ошибками будет эффективна, если она будет основана на выделении приемов и методов поиска математических ошибок с помощью системы примеров и контрпримеров.
Для достижения цели и проверке гипотезы необходимо решить следующие задачи:
1. Систематизировать причины появления математических ошибок у старшеклассников в процессе обучения.
2. Проанализировать понятие и виды типичные математических ошибок старшеклассников.
3. Выделить приемы и методы работы над математическими ошибками.
4. Разработать систему задач (примеры и контрпримеры) по алгебре и началам анализа как средство обучения и самоконтроля над ошибками .
5. Разработать систему задач (примеров и контрпримеров) по геометрии как средство обучения и самоконтроля над ошибками .
6. Провести педагогический эксперимент и апробацию методических материалов по теме диссертации.
Проблему формирования и повышения уровня мотивации учащихся при работе над математическими ошибками предлагается решать с помощью изучения и анализа нескольких механизмов, влияющих на учебно-познавательную деятельность школьников. Такими механизмами, в частности, являются:
• непосредственный процесс изучения и анализа математических ошибок на школьных уроках;
• личностно-ориентированный подход на уроках и проведение индивидуальной работы над математическими ошибками.
При разработке системы задач необходимо будет рассмотреть различные виды математических ошибок, которые в своих работах выделили М. Брадис [10], В.И. Рыжик [51], В. Литцман [33], В.С. Карнацевич [25]. Авторы отмечают, что группы ошибок, которые они выделили, не показывает весь спектр тех ошибок, которые существуют, что говорит об их многообразии.
Необходимо обратить внимание на психологические особенности старшеклассников при обучении работе над математическими ошибками и на важность наглядного характера излагаемого материала [62]. Для учащихся разного склада мышления наглядность будет способствовать лучшему усвоению материала.
Теоретико-методологическую основу данного исследования составили работы М. Брадиса [10], Я.И. Груденова [19], В. А. Далингера [20-21], [41], М.И. Зайкина [24], Г.И. Саранцева [53].
Базовыми для настоящего исследования явились также работы В.С. Карнацевича [25], В.А. Колосовой [26], В. Литцмана [33], Н.С. Майковой [34], Н.В. Метельского [40], О.А. Очередько [46], В.И. Рыжика [51], И.Ю. Свиридовой [54], О.А. Тарасовой [56], Л.М. Фридмана [60].
Методы исследования: анализ психолого-педагогической, научной и учебно-методической литературы; изучение, наблюдение и обобщение школьной практики; анализ собственного опыта работы в школе; различные виды эксперимента по проверке основных положений исследования.
Основные этапы исследования:
• 1 семестр (2020/2021 уч.г.): анализ ранее выполненных исследований по теме диссертации; анализ школьных программ и учебников по математике, нормативных документов; анализ опыта работы школы по данной теме.
• 2 семестр (2020/2021 уч.г.): определение теоретических и методических основ обучения старшеклассников работе над математическими ошибками.
• 3 семестр (2021/2022 уч.г.): подборка системы задач (примеров и контрпримеров) по алгебре и начала анализа и по геометрии как средств обучения и самоконтроля над ошибками.
• 4 семестр (2021/2022 уч.г.): оформление диссертации, корректировка ранее представленного материала, уточнение аппарата исследования, описание результатов экспериментальной работы, формулирование выводов по главам.
Опытно-экспериментальная база исследования: ГБОУ СОШ № 635 Приморского района, г. Санкт-Петербург.
Научная новизна исследования заключается в том, что проблема обучения старшеклассников работе над математическими ошибками рассмотрена в аспекте формирования приемов и методов поиска математических ошибок с помощью системы примеров и контрпримеров.
Теоретическая значимость исследования заключается в предложенной методике работы над математическими ошибками с помощью примеров и контрпримеров.
Практическая значимость исследования заключается в разработке системы задач по алгебре и начала анализа и системы задач по геометрии как средств обучения и самоконтроля над типичными математическими ошибками.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивались сочетанием теоретических и практических методов исследования, анализом педагогической практики и личным опытом работы в общеобразовательной школе.
Личное участие автора в организации и проведении исследования состоит в выявлении методических особенностей и формулировании методических рекомендаций по работе с математическими ошибками старшеклассников в общеобразовательной школе; разработке системы задач по алгебре и начала анализа и системы задач по геометрии как средство обучения и самоконтроля над ошибками.
Апробация и внедрение результатов работы велись в течение всего исследования. Его результаты обсуждались:
• в период прохождения производственных (научно-исследовательской НИР 1-4) и преддипломной практик на кафедре «Высшая математика и образование» ФГБОУ ВО «Тольяттинский государственный университет;
• на всероссийской научно-практической междисциплинарной конференции «Молодежь. Наука. Общество» (Тольятти, декабрь- январь, 2022 г.).
Основные результаты исследования отражены в 2 публикациях [13], [14].
На защиту выносятся:
• система задач (примеров и контрпримеров) по алгебре и началам анализа как средство обучения и самоконтроля над ошибками;
• система задач (примеров и контрпримеров) по геометрии как средство обучения и самоконтроля над ошибками.
Структура магистерской диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, содержит 27 рисунков, 9 таблиц, 1 приложение, список используемой литературы (74 источника). Основной текст работы изложен на 96 страницах.
Анализ научно-методической литературы и проведенное исследование в рамках магистерской диссертации позволили сделать ряд выводов.
1. Формирование перечня математических ошибок и применение его в учебных целях оказывается одним из важных факторов улучшения качества эффективности обучения. В то же время до сих пор не выработано единой классификации математических ошибок. Данный вопрос, не смотря на его обширную изученность в научной литературе, представляется дискуссионным.
2. Реализация проблемного обучения на уроках математики, а именно включение учащихся в процесс разрешения проблемных ситуаций в рамках работы над ошибками в полной мере способствует достижению таких требований к результатам обучения, заявленным в ФГОС ООО и СОО, как формирование познавательных универсальных учебных действий.
Базовыми методами работы над математическими ошибками являются контроль и самоконтроль. Метод контроля допустим, но менее эффективен: педагог занимается, как правило, личным исправлением ошибок, что является крайне неверным решением. Более важным и эффективным является формирование у обучающихся навыков самоконтроля, которое включает способность самостоятельно обнаруживать ошибки, а также умение самостоятельного объяснения ошибки и ее исправления.
3. Важным средством работы над математическими ошибками является объяснение и предупреждение ошибок.
При этом:
- процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики;
- вопрос о математических ошибках в процессе решения заданий из ЕГЭ также требует дополнительной проработки, как на уровне работу с учащимися, так и на уровне методики решения от создателей.
4. В процессе реализации технологии работы над ошибками посредством примеров и контрпримеров важную роль играет отбор самих ключевых задач. Оптимальный набор ключевых задач является наиболее важным для достижения положительных результатов в повышении предметных компетенций обучающихся. В работе приведены примеры ключевых задач, которые являются полезными при изучении работы над собственными математическими задачами.
5. Нами предложена система задач (примеров и контрпримеров) по алгебре и началам анализа, а также по геометрии, как средство обучения и самоконтроля над ошибками. Был учтен факт, что наибольший эффект контрпримеров достигается в том случае, когда формулируются два утверждения, в которых условие и заключение переставлены местами, причем больший эффект достигается в том случае, если истинность утверждений неизвестна учащимся.
6. В целях апробации рассматриваемой системы задач, был предварительно проведен с помощью анкетирования констатирующий этап экспериментальной работы в целях выявления степени понимания школьниками основных теоретических знаний в области понимания типовых ошибок при решения математических задач. Цель констатирующего эксперимента состояла в проверке того, что разработанные нами системы задач будут способствовать уменьшению ошибок учащихся при решении самостоятельных и контрольных работ.
В результате проведения анкетирования учителей были сделаны выводы, что чаще всего на уроках ошибка исправляется учителем. Большинство педагогов проводят фронтальную работу с ошибками учащихся. Учителя используют метод констатации ошибки: ее обнаружение и исправление.
Также анкетирование показало, что задачи на приведение примеров и контрпримеров не используются среди учителей, участвовавших в опросе.
7. На констатирующем этапе экспериментальной работы преподавателям по завершении курса занятий с помощью анкетирования был задан ряд вопросов. В целом, преподаватели, по итогам оценки домашних и самостоятельных работ посчитали целесообразным учет уровневой дифференциации при составлении заданий и изложении материала.
8. Учащимся в ходе эксперимента была предложена контрольная работа по алгебре и началам анализа. Анализ приведенных результатов позволяет сделать вывод о том, что работа над математическими ошибками проводится в основном только в фронтальной форме работы. Примеры и контрпримеры используют редко в качестве отработки ошибок учащихся на уроках математики. Поэтому использование учителями примеров и контрпримеров необходимо для обучения старшеклассников работе над математическими ошибками, что подтверждает проведенный нами эксперимент.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
