При построении эконометрических моделей значительную роль играет выбор многомерного распределения доходностей активов, лежащего в основе модели. Например, стоящая перед инвестором задача построения оптимальных портфелей может быть решена с помощью математического описания совместного распределения доходностей рыночных активов, учитывающего флуктуации рыночных факторов. [1] Таким образом, оценка совместного распределения совокупностей валютных пар является актуальной практической задачей для участников финансовых рынков.
Учитывая сложные взаимосвязи между величинами,непосредственная оценка многомерного распределения совокупности валютных пар является весьма непростой задачей, которая не может быть сведена к оценке одномерных распределений отдельных компонент (валютных пар). [2]
В настоящее время получили широкое распространение два основных подхода к оценке многомерной плотности распределения доходностей. Первый, основанный на предположении, что доходности имеют многомерное нормальное распределение. Однако, данное допущение не в полной мере отражает реальные взаимосвязи, по этому зачастую данный подход не позволяет достичь желаемой точности. Второй, основан на использовании копула-функций (копул). Копулы позволяют описать структуру зависимости между отдельными компонентами, которые могут быть представлены частными функциями распределения. Таким образом, копула-функция позволяет перейти от одномерных распределений случайных величин к совместному распределению. [3] Копула - функции в настоящее время одна из наиболее используемых на практике. Однако очень сложна для применения при анализе многомерных данных с размерностью больше двух.
В работе Пеникаса Г. И. [4] проводится сравнительный анализ применения копулярного метода и метода, основанном на предположении многомерного нормального распределения доходностей валют. Основной целью ставилось решение задачи оптимизации открытых валютных позиций в коммерческом банке, чьи потери от валютного риска не должны превышать капитал банка с заданной вероятностью. В результате исследования было показано, что совместное распределение недельных приростов курсов валют не является нормальным и лучше всего описывается копулой Гамбела. Оба подхода позволили получить допустимые результаты в рамках заданных ограничений на размер валютного риска. Однако основным выводом стало то, что копулярные модели показали себя эффективнее. Это связано как с лучшим описанием распределения, так и с тем, что при данном методе фактическая доходность всегда оказывалась выше.
В данной работе предлагается использовать для оценки многомерного распределения совокупности котировок валютных пар представление всей совокупности в виде факторной модели, в которой каждая исходная компонента выражена в виде линейной комбинации обобщенных и характерных факторов, некоррелированных между собой. При этом связи между исходными компонентами полностью определяются обобщенными факторами, а вариация каждого компонента определяется как обобщенными, так и соответствующим характерным фактором. Если знать законы распределения обобщенных и характерных факторов, то в силу независимости последних можно получить закон распределения каждой исходной компоненты, не находя совместного распределения компонент. В то же время, такой подход позволит оценить распределения величин, зависящих от данных. [5] Например, распределение стоимости портфеля, состоящего из валютных пар, зависящее от их многомерного распределения. То есть, решать практически любые задачи, требующие знания многомерного распределения всей совокупности данных, не находя этого распределения. Хотя, при необходимости, распределение всей совокупности на основе построенной модели может быть найдено, например, методом Монте-Карло.
Целью данной работы является исследование многомерного распределения относительных приращений котировок совокупности валютных пар на основе факторной модели.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. построить факторную модель распределения совокупности относительных приращений котировок валютных пар и оценить уровень значимости полученной модели;
2. произвести оценку распределений обобщенных и характерных факторов;
3. получить аналитическое представление для оценок распределений относительных приращений котировок валютных пар;
4. смоделировать многомерное распределение всей совокупности исходных признаков;
5. получить закон распределения доходностей портфеля, составленного из валютных пар, входящих в рассматриваемую совокупность.
В качестве предмета анализа были выбраны 7 валютных пар (BYR/RUB; CNY/RUB; EUR/RUB; GBP/RUB; KZT/RUB; UAH/RUB; USD/RUB) за период с 12 января 2015 года по 13 октября 2015 года.
Таким образом, в данной работе:
1) показана принципиальная возможность построения двух факторной модели для относительных приращений котировок совокупности валютных пар;
2) произведена оценка распределений обобщенных и характерных факторов;
3) смоделировано многомерное распределение всей совокупности исходных признаков;
4) получено единообразное аналитическое представление для плотностей распределений относительных приращений всех котировок, входящих в совокупность;
5) показано хорошее соответствие полученных распределений с реальными данными.
