Когда-то большинство людей считало, что геометрия в природе ограничивается простыми фигурами, такими как линия, круг, многоугольник, сфера, коническое сечение, квадратичная поверхность, или их комбинациями. Однако, многие природные системы более сложны и нерегулярны и использования только обычных объектов классической геометрии недостаточно для их описания. Приведем примеры: моделирование горного хребта, кроны дерева, каскадных водопадов и турбулентных процессов, определяющих погоду, ритма мозга и сердца, которые наблюдаются на энцефалограмме и электрокардиограмме, внезапные волны паники на рынках финансов и т.д.
Для их исследования используется теория фракталов и хаоса. Термин «фрактал» является статичной геометрической конфигурацией, как, например, снимок водопада. Хаос - это термин динамики, который используется для описания различных явлений, как, например, турбулентное поведение погоды.
Фракталы находят сейчас все больше и больше различных применений в науке и жизни человека, так как по сути все наше мироздание один большой фрактал. Фрактальная размерность, как индикатор нерегулярности графика фрактала, за последнее десятилетие вышла из области теоретической математики и стала важным количественным показателем в области обработки сигналов и изображений. Мера изрезанности контура объекта или нестационарности сигнала часто используется для получения важных характеристик данных, их классификации и прогнозирования. Фракталы используются для прогнозирования экономических индексов, разведочного анализа сигнала, медицинской диагностики, распознавания границ объектов и т.д. Этим и определяется актуальность темы исследования.
Объект исследования: фрактальные временные ряды.
Предмет исследования: компьютерное моделирование фрактальных временных рядов.
Цель данной работы - разработать программную реализацию построения фрактального ряда и программную реализацию определения показателя Херста.
Для реализации цели сформулированы следующие задачи:
1. Выявить и описать основные понятия, связанные с моделированием фрактальных рядов;
2. Осуществить анализ методов генерации фрактальных рядов и программную реализацию метода смещения средней точки;
3. Осуществить анализ методов определения размерности фракталов и программную реализацию определения показателя Херста.
В первой главе описываются основные понятия, связанные с моделированием и анализом временных рядов, вводятся понятия фрактальной размерности и показателя Херста.
Вторая глава посвящена способам построения фрактальных рядов. В первой части описываются алгоритмы построения фрактальных множеств. Во второй части выполняется реализация алгоритма смещения средней точки.
В третьей главе рассказывается о способах анализа фрактальных рядов, описываются некоторые методы нахождения показателя Херста, реализуется алгоритм R/S анализа.
Со времени возникновения теории фракталов прошло не более трети века, но за это время с помощью фракталов были обнаружены новые факты и закономерности в различных областях знаний. При помощи теории фракталов люди стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Поначалу увлечение фракталами было слишком бурным и попытки объяснять все с помощью фрактальной теории были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование.
В результате проделанной работы были разработаны программная реализация построения фрактального ряда методом смещения средней точки и программная реализация определения показателя Херста методом R/S-анализа.
При этом были решены следующие задачи.
Были выявлены и описаны основные понятия, связанные с моделированием фрактальных рядов.
Были рассмотрены некоторые популярные методы моделирования фракталов, такие как алгоритм смещения средней точки, обобщенное броуновское движение, L-системы, а так же выполнена компьютерная реализация алгоритма смещения средней точки.
Были рассмотрены такие методы анализа фрактальной размерности, как метод Ричардсона, метод Минковского, метод R/S -анализа, метод разложения в ряд Фурье, а так же выполнена компьютерная реализация метода R/S-анализа.
