ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 7
1.1 Свойства фрактальных множеств 7
1.2 Фрактальная размерность 9
1.3 Показатель Хёрста 16
1.4 Фрактальные временные ряды 19
1.5 Методы модельного представления фрактальных временных рядов 20
1.5.1 Метод смещения средней точки 21
1.5.2 Метод Фурье 22
1.5.3 Метод обобщённого броуновского движения 22
1.6 Методы анализа размерности 23
1.6.1 Метод Ричардсона 24
1.6.2 Метод Минковского 25
1.6.3 Метод R/S анализа 26
ГЛАВА 2 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 29
2.1 Описание структуры программы 29
2.2 Реализация метода генерации фрактального временного ряда 31
2.3 Реализация метода анализа фрактальной размерности 35
2.4 Интерфейс приложения 41
ГЛАВА 3 ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОЙ ЧАСТИ 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 50
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 51
ПРИЛОЖЕНИЕ А 53
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 54
ПРИЛОЖЕНИЕ В 55
Издревле мысль о внутреннем подобии объектов и процессов занимала человеческие умы. Сама идея о том, что великое может быть вложено в малое, заставляла учёных пересматривать устоявшиеся принципы геометрии. Как правило, чтобы описать геометрические свойства объектов и процессов можно ограничиться простейшими фигурами: линией, плоскостью, многоугольником, кругом, сферой, квадратичной поверхностью и коническим сечением, либо их комбинациями. Но есть системы, предсказания поведения которых, казалось бы, невозможно предсказать из-за беспорядочных скачков в разных направлениях, из-за чего они никогда не упорядочатся в некую закономерную последовательность. В качестве примера таких систем можно привести прогнозирование погоды, поведение рынка финансов, ритму сердца и мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и другие. Такие системы принято называть хаотичными.
Для описания хаотичных множеств, обладающих свойствами самоподобия, используются фракталы. Само слово «фрактал» в переводе с латинского «fractus» означает дробленный, сломанный, разбитый на куски, а термин же был придуман Б. Б. Мандельбротом ещё в 1975 году. Математическое понятие фрактала выделяет объекты, которые обладают структурами разных масштабов (как больших, так и малых), тем самым отражая принцип организации.
Благодаря тому, что развитие фрактальной геометрии происходит достаточно интенсивно, появление новых определений фракталов, от строго математических, до метафорических вполне закономерно. Для обработки сигналов и изображений количественным показателем часто используется фрактальная размерность, как показатель нерегулярности графика фрактала. Динамические процессы так же имеют фрактальную природу. Всё это указывает на актуальность темы исследования.
Объект исследования: фрактальные временные ряды.
Предмет исследования: компьютерное моделирование фрактальных временных рядов и анализ фрактальной размерности.
Цель данной работы — разработать программную реализацию задачи моделирования фрактального временного ряда.
Для реализации поставленной цели, необходимо сформировать следующие задачи:
Задачи:
1) Выявить алгоритмы генерации фрактальных временных рядов.
2) Разработать программу для моделирования и анализа фрактального временного ряда.
3) Протестировать получившуюся программную реализацию на реально существующих данных.
Описание глав:
1. В первой главе описаны основные свойства фрактальных множеств, а также способы генерации фрактальных временных рядов, методы анализа фрактальной размерности этих рядов.
2. Во второй главе был описана структура разработанной программной реализации: выбранный паттерн разработки, описание классов и их методов, технологии разработки, демонстрация графического интерфейса.
3. В третьей главе был произведён тест программной реализации на реальных временных рядах для определения фрактальных свойств.
Цель работы состояла в разработке компьютерной реализации фрактального временного ряда.
Для этого были решены следующие задачи:
1. Выявлены основные алгоритмы генерации фрактальных временных рядов.
2. Была разработана структура программы, а затем по ней и сама программа, реализующая генерацию фрактальных временных рядов, возможность ввода фрактального ряда, а также анализа размерности полученного ряда.
3. Проведено тестирование реального временного ряда на наличие фрактальных свойств.
Были пошагово реализованы метод генерации фрактального временного ряда методом смещения средней точки, а также метод анализа фрактальной размерности методом Минковского на языке объектно-ориентированном языке программирования Java, с использованием пользовательского графического интерфейса.
Проведены вычислительные эксперименты, состоящие из вычисления фрактальной размерности реально существующих временных рядов с целью определения свойств фрактальности временного ряда и анализа фрактальной размерности.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
