🔍 Поиск готовых работ

🔍 Поиск работ

Исследование методов решения задач оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных

Работа №108354

Тип работы

Магистерская диссертация

Предмет

информатика

Объем работы76
Год сдачи2020
Стоимость4955 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
301
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1 Задачи оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных 6
1.1 Различные типы задач оптимального управления 6
1.2 Вариационная формулировка 14
Глава 2 Методы решения задач оптимального управления 19
2.1 Метод Лагранжа 19
2.2 Приведенный функционал 25
2.3 Сравнение систем оптимальности 28
Глава 3 Результаты решения системы оптимальности методом конечных элементов 39
3.1 Точное решение 39
3.2 Дискретизация 41
3.3 Численные результаты 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 66
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 67
Приложение А Код на языке Python для программного обеспечения FEniCS

Математическая теория оптимального управления в последние несколько десятилетий быстро превратилась в важный самостоятельный раздел прикладной математики. Одной из областей применения этой теории является авиационная и космическая техника: аспекты оптимизации проявляются всякий раз, когда движение воздушного судна или космического корабля (которое может моделироваться дифференциальным уравнением) должно осуществляться по оптимальной в данном случае траектории.
Рассмотрим самолет, пытающийся избежать столкновения с объектом, который внезапно приземляется на взлётной полосе. Пилот обладает определенной способностью управлять самолетом, маневрируя и изменяя траекторию. Очевидно, что пилот сталкивается с проблемой поиска оптимального способа маневрирования самолетом таким образом, чтобы избежать столкновения (избегая препятствия и минимизируя конечную скорость). Это пример задачи оптимального управления, которая состоит из системы дифференциальных уравнений, описывающих движение самолёта, и целевого функционала, который должен быть оптимизирован
(максимизирован или минимизирован).
Широко распространенные приложения задач оптимального управления можно найти во многих областях, таких как механика, химия, динамика транспортных средств, аэронавтика и других. Этим обосновывается актуальность темы исследования.
Объектом исследования в данной работе являются задачи оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных.
Предмет исследования - методы решения задач оптимального управления с эллиптическими уравнениями в частных производных.
Целью работы является сравнительный анализ методов решения задач оптимального управления с эллиптическими уравнениями в частных производных.
Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:
- провести обзор различных модельных задач оптимального
управления с эллиптическими уравнениями в частных производных;
- получить системы оптимальности для задач граничного и распределенного управления с помощью методов Лагранжа и приведенного градиента;
- исследовать метод конечных элементов решения систем оптимальности;
- реализовать два способа решения системы оптимальности
посредством программного обеспечения FEniCS;
- сравнить результаты, полученные при различных подходах, проанализировать ошибки, оценить скорости сходимости.
В первой главе магистерской диссертации рассматриваются различные модельные задачи оптимального управления с эллиптическими уравнениями в частных производных с разными типами граничных условий, приводятся их вариационные формулировки, описывается метод конечных элементов.
Во второй главе выпускной квалификационной работы представлены два подхода к решению задач оптимального управления - косвенный и прямой. Косвенный подход реализуется посредством метода Лагранжа, прямой - с помощью метода приведенного градиента. В первом случае вычисляются стационарные точки функционала Лагранжа, среди которых можно найти возможные локальные минимумы. Во втором случае для минимизации функции стоимости, или целевой функции, работа ведется только с набором допустимых функций, т. е. пар (у, и), удовлетворяющих уравнению состояния, где у - переменная состояния, а и - управляющая переменная. Рассматриваются модельные задачи оптимального граничного управления и оптимального распределенного управления. Для задач обоих типов находятся системы оптимальности в сильной и слабой форме с применением двух вышеуказанных методов. Затем проводится сравнение полученных систем оптимальности.
В третьей главе представлены результаты решения задачи оптимального управления с эллиптическим дифференциальным уравнением в частных производных и функционалом стоимости, определенным на двух различных границах, посредством программного обеспечения FEniCS. Система оптимальности, полученная с помощью различных алгоритмов, реализована двумя путями: как система оптимальности двух уравнений и как система оптимальности трех уравнений. Предварительно аналитическим путем было найдено точное решение системы в сильной форме, которое в дальнейшем позволило сравнить приближенные и точные решения, проанализировать ошибки и оценить скорости сходимости.
В заключении подводятся итоги проведенного исследования, выделяются основные результаты.

Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании работ!
ДИПЛОМНЫЕ МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
КУРСОВЫЕ СТАТЬИ ВКР

Система оптимальности, которую мы получили с помощью двух разных алгоритмов, то есть методом Лагранжа и методом приведенного функционала, была успешно реализована в этой работе двумя различными способами. Результаты, достигнутые с помощью системы оптимальности двух уравнений и посредством системы оптимальности трех уравнений, в точности совпадают.
В процессе работы получены результаты в терминах приближенных и точных значений переменной состояния у, множителя Лагранжа р и функционала стоимости J (у, и).
В ходе исследования установлено, что с уменьшением значения параметра регуляризации на тот же порядок уменьшаются значения у, р и J. Точнее, что при стремлении параметра регуляризации к нулю согласно полученным данным значения также стремятся к нулю.
Кроме того, произведены анализ ошибок и оценка скорости сходимости по различным переменным. Выяснено, что при уменьшении размера элемента в два раза ошибка в каждом случае уменьшается в 4 раза. В ходе исследования установлено, что для каждой переменной при различных значениях мы достигаем сходимости второго порядка линейных элементов Лагранжа по мере того, как сетки становятся достаточно мелкими.
Мы также определили максимальные и минимальные значения переменных и функционала при различных значениях и разных размерах элемента и получили одинаковые результаты в обоих реализованных способах.
Вычисления были произведены посредством программного обеспечение FEniCS - специального инструмента для автоматизированного численного решения дифференциальных уравнений методом конечных элементов. Для написания программного кода был использован язык Python.



1. Бахвалов Н.С. О существовании в целом регулярного решения квазилинейной гиперболической системы // Ж.в.м. и м.ф. 1970. Т.10. N 4. C.9G9-980.
2. Белотелов Н.В., Саранча Д.А. Линейный анализ устойчивости двухуровневых систем с диффузией на экологическом примере // Биофизика. 1984. N 1. С.130-134.
3. Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными. М.: Мир, 19645.
4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.
6. Варга Дж. Оптимальное управление функциональными и дифференциальными уравнениями. М.: Наука, 1977.
7. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л. ГИТТЛ, 1948
8. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975.
9. Воробьева Е.В. Об устойчивости решении смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости // ОГТУ, Омск, 1999. Деп. в ВИНИТИ 10.08.99. N 2610-В99.
10. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука. 1991.
11. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1977.
12. Годунов C.K. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
13. Годунов С.К. Уравнения математической физики (2-е изд. ). М.: Наука 1979
14. Годунов С.К., Золотарева Е.В. Сборник задач по уравнениям математической физики. Новосибирск: Наука, 1974
15. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов / Д. П. Голоскоков. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
16. Гурса Э. Курс математического анализа, том 3, часть 1. Бесконечно близкие интегралы. Уравнения с частными производными. М.-Л.: ГТТИ, 1933
17. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967
18. Дубовицкий А.Я. Теоретико-функциональный аппарат общей задачи оптимального управления. Препринт ИХФ АН СССР. Черноголовка: ИХФ АН СССР, 1975.
19. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике. AI.: Наука. 1981. С.6-17.
20. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: ФПЗМАТЛИТ, 2004.
21. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин C.B. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы. // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. М. ВИНИТИ. 1987. Т. 21. С.3-39.
22. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: Курс лекций. М.: Едиториал УРСС, 2004.
23. Жепшов В.И. О случаях разрешимости гиперболических
уравнений в квадратурах // Изв. вузов. Мат. 2004. N 7. С.47 52.
24. Жестков C.B., Забрейко П.П. О нелокальной разрешимости задачи Коши для квазилинейных нормальных систем в частых производных первого порядка // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. N 7. С.1000-1002.
25. Заславский Б.Г., Полуэктов P.A. Управление экологическими системами. М.: Наука, 1990.
26. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950
27. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: ФИЗМАТЛ1ГГ, 2003.
28. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
29. Ирисов А.Е., Тонко Е.Л. Достаточные условия оптимальности рекуррентных по Биркгофу движений дифференциального включения // Пестн. Удм. ун-та. Ижевск. 2005. N 1. С.59-75.
30. Искандеров Н.Ш. Задача рассеяния для гиперболической системы пяти уравнений первого порядка на полуоси // Изв. АН Азербайджана. Сер. физ,- техн. и мат. н. 1998. Т. 18. N 2. С.26-28.
31. Казаков К.Ю. Корректность начальной задачи для гиперболической системы квазилинейных законов сохранения на плоскости. 01.01.02 -диф. ур. и математическая физика: Автореферат диссерт. на сопск. уч. степ. к. ф.-м. наук. Горький, 1989.
32. Калман Р., Фал б П., Арбиб М. Очерки но математической теории систем. М.: Мир, 1971.
33. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в
частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966
34. Камке Э. Справочник по дифференциальным
35. Капцов О.В. Инвариантность характеристик систем уравнений с частными производными // Сиб. мат. ж. 2004. Т. 45. N 3. С.577-591.
36. Капцов О.В., Заблуда A.B. Инварианты характеристик // Вести. Краснояр. гос. ун-та. Физ мат. п. 2004. N 3. С.57-61.
37. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
38. Кошляков Н.С. Глинер Э.Б. Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970
39. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.
40. Кузенков O.A. Достаточные условия нуль-управляемости динамической системы на конечномерном симплексе // Методы прикладного функционального анализа. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. 1991. С.33-36.
41. Кузенков O.A. Исследование асимптотического поведения в некоторых моделях с нелинейной динамикой //Нелинейная динамика и управление. Вып.1. М.: Физматлит. 2002. С.333-335.
42. Кузенков O.A. Исследование динамической системы вероятностных мер Радона //Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. N 4. С.591¬596.
43. Кузенков O.A. Математическое моделирование процесса выбора
оптимальной стратегии: проблема критерия // Математическое
моделирование и оптимальное управление. Сб. научи, тр. Под ред. Р.Г. Стронгнна. Н.Новгород. 1994. С.48-59.
44. Кузенков O.A. Математическое моделирование, процессов отбора // Математическое моделирование и оптимальное управление. Сб. научи, тр. Под ред. Р.Г. Стронгина. Н.Новгород. 1994. С.120-131.
45. Кузенков O.A. Некоторые свойства динамических систем на конечномерном симплексе // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 2(19) С.56-62.
46. Кузенков O.A. О системах оценок объективного критерия //Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление.
1998. Вып. 1(18). С.1160-125.
47. Кузенков O.A. Проблема критерия в математическом моделировании процесса выбора для биологических систем // Математическое моделирование и оптимальное управление. Сб. научн. тр. Под ред. Р.Г. Стронгина. П.Новгород. 1996. С.53-64.
48. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Исследование гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ИНГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2(21). С.138-144.
49. Кузенков O.A., Рябова Е.А. О симметричной форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе //VI Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. Москва. 2000. С.46.
50. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Проблема отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н. Новгород. 1999. С.130-131.
51. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление.
1999. Вып. 1(20). С.63-72.
52. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964
53. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 2. Дифференциальные уравнения с частными производными. Л.: Артиллерийская академия, 1934
54. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. том VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, В. М. Лифшиц. Изд. четвёртое, стереотипное. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 736 с.
55. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957
56. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976
57. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.
58. Соболев С.Л. Уравнения математической физики (4-е изд.). М.: Наука, 1966
59. Тихонов А. А. Уравнения математической физики: учебное пособие / А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. Изд. 7-е. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с.
60. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 7-е изд. М.: Издательство МГУ, 2004.
61. Фаддеев Л. Д. (ред). Математическая физика: Энциклопедия. М.: Большая российская энциклопедия, 1998.
62. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. 8-е изд. дополненное. М.: Интегралпресс, 1998. 208 с.
63. C. Meyer, U. Prufert, F. Troltzsch, On two Numerical Methods for StateConstrained Elliptic Control Problems. URL http: //page.math.tu- berlin.de/~troeltz/arbeiten/mpt05 small.pdf
64. E. Casas, F. Troltzsch, Second Order Analysis for Optimal Control Problems: Improving Results Expected from Abstract Theory, SIAM J. Optim. 22 (2012) 261- 279. URL http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/110840406
65. F. Troltzsch, On Finite Element Error Estimates for Optimal Control
Problems with Elliptic PDEs. URL http://page.math.tu-
berlin.de/~troeltz/arbeiten/sozopol09.pdf
66. F. Troltzsch, Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications, Vol. 112, American Mathematical Society, United States of America, 2010
67. G. Da Prato, An introduction to infinite-dimensional analysis, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2006.
68. L. Beilina, M. V. Klibanov, Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems, Springer, New York, 2012
A. Logg, K.-A. Mardal, G. N. Wells, Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method, 2011
69. Logg, Mardal, Wells, Automated Scientific Computing, 2009
70. N. Andreasson, A. Evgrafov, M. Patriksson, An Introduction to Continuous Optimization, 2005.
71. P. Philip, Optimal Control of Partial Differential Equations, 2009. URL http: //www. math.lmu.de/~philip/publications/lectureNotes
72. S. Larsson, V. Thomee, Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer-Verlag, Berlin, 2003.
73. V. Thomee, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, 2nd Edition, Vol. 25 of Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2006
74. W. Bangerth, R. Rannacher, Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations, Birkh’aauser Verlag, Basel, Switzerland, 2003


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.



Подобные работы


©2025 Cервис помощи студентам в выполнении работ
.