ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1 Задачи оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных 6
1.1 Различные типы задач оптимального управления 6
1.2 Вариационная формулировка 14
Глава 2 Методы решения задач оптимального управления 19
2.1 Метод Лагранжа 19
2.2 Приведенный функционал 25
2.3 Сравнение систем оптимальности 28
Глава 3 Результаты решения системы оптимальности методом конечных элементов 39
3.1 Точное решение 39
3.2 Дискретизация 41
3.3 Численные результаты 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 66
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 67
Приложение А Код на языке Python для программного обеспечения FEniCS
Математическая теория оптимального управления в последние несколько десятилетий быстро превратилась в важный самостоятельный раздел прикладной математики. Одной из областей применения этой теории является авиационная и космическая техника: аспекты оптимизации проявляются всякий раз, когда движение воздушного судна или космического корабля (которое может моделироваться дифференциальным уравнением) должно осуществляться по оптимальной в данном случае траектории.
Рассмотрим самолет, пытающийся избежать столкновения с объектом, который внезапно приземляется на взлётной полосе. Пилот обладает определенной способностью управлять самолетом, маневрируя и изменяя траекторию. Очевидно, что пилот сталкивается с проблемой поиска оптимального способа маневрирования самолетом таким образом, чтобы избежать столкновения (избегая препятствия и минимизируя конечную скорость). Это пример задачи оптимального управления, которая состоит из системы дифференциальных уравнений, описывающих движение самолёта, и целевого функционала, который должен быть оптимизирован
(максимизирован или минимизирован).
Широко распространенные приложения задач оптимального управления можно найти во многих областях, таких как механика, химия, динамика транспортных средств, аэронавтика и других. Этим обосновывается актуальность темы исследования.
Объектом исследования в данной работе являются задачи оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных.
Предмет исследования - методы решения задач оптимального управления с эллиптическими уравнениями в частных производных.
Целью работы является сравнительный анализ методов решения задач оптимального управления с эллиптическими уравнениями в частных производных.
Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:
- провести обзор различных модельных задач оптимального
управления с эллиптическими уравнениями в частных производных;
- получить системы оптимальности для задач граничного и распределенного управления с помощью методов Лагранжа и приведенного градиента;
- исследовать метод конечных элементов решения систем оптимальности;
- реализовать два способа решения системы оптимальности
посредством программного обеспечения FEniCS;
- сравнить результаты, полученные при различных подходах, проанализировать ошибки, оценить скорости сходимости.
В первой главе магистерской диссертации рассматриваются различные модельные задачи оптимального управления с эллиптическими уравнениями в частных производных с разными типами граничных условий, приводятся их вариационные формулировки, описывается метод конечных элементов.
Во второй главе выпускной квалификационной работы представлены два подхода к решению задач оптимального управления - косвенный и прямой. Косвенный подход реализуется посредством метода Лагранжа, прямой - с помощью метода приведенного градиента. В первом случае вычисляются стационарные точки функционала Лагранжа, среди которых можно найти возможные локальные минимумы. Во втором случае для минимизации функции стоимости, или целевой функции, работа ведется только с набором допустимых функций, т. е. пар (у, и), удовлетворяющих уравнению состояния, где у - переменная состояния, а и - управляющая переменная. Рассматриваются модельные задачи оптимального граничного управления и оптимального распределенного управления. Для задач обоих типов находятся системы оптимальности в сильной и слабой форме с применением двух вышеуказанных методов. Затем проводится сравнение полученных систем оптимальности.
В третьей главе представлены результаты решения задачи оптимального управления с эллиптическим дифференциальным уравнением в частных производных и функционалом стоимости, определенным на двух различных границах, посредством программного обеспечения FEniCS. Система оптимальности, полученная с помощью различных алгоритмов, реализована двумя путями: как система оптимальности двух уравнений и как система оптимальности трех уравнений. Предварительно аналитическим путем было найдено точное решение системы в сильной форме, которое в дальнейшем позволило сравнить приближенные и точные решения, проанализировать ошибки и оценить скорости сходимости.
В заключении подводятся итоги проведенного исследования, выделяются основные результаты.
Система оптимальности, которую мы получили с помощью двух разных алгоритмов, то есть методом Лагранжа и методом приведенного функционала, была успешно реализована в этой работе двумя различными способами. Результаты, достигнутые с помощью системы оптимальности двух уравнений и посредством системы оптимальности трех уравнений, в точности совпадают.
В процессе работы получены результаты в терминах приближенных и точных значений переменной состояния у, множителя Лагранжа р и функционала стоимости J (у, и).
В ходе исследования установлено, что с уменьшением значения параметра регуляризации на тот же порядок уменьшаются значения у, р и J. Точнее, что при стремлении параметра регуляризации к нулю согласно полученным данным значения также стремятся к нулю.
Кроме того, произведены анализ ошибок и оценка скорости сходимости по различным переменным. Выяснено, что при уменьшении размера элемента в два раза ошибка в каждом случае уменьшается в 4 раза. В ходе исследования установлено, что для каждой переменной при различных значениях мы достигаем сходимости второго порядка линейных элементов Лагранжа по мере того, как сетки становятся достаточно мелкими.
Мы также определили максимальные и минимальные значения переменных и функционала при различных значениях и разных размерах элемента и получили одинаковые результаты в обоих реализованных способах.
Вычисления были произведены посредством программного обеспечение FEniCS - специального инструмента для автоматизированного численного решения дифференциальных уравнений методом конечных элементов. Для написания программного кода был использован язык Python.
