ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОНЯТИЯ «ИНВЕРСИЯ» В ГЕОМЕТРИИ 10
§1. История и основные направления развития понятия «инверсия» в геометрии 10
§2. Особенности применения инверсии в школьном курсе математики 15
§3. Анализ применения инверсии как метода решения геометрических задач в школьных учебниках 29
Выводы по первой главе 39
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
ИНВЕРСИИ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 40
§ 1. Методические особенности применения инверсии к решению задач на построение с помощью циркуля и линейки, на вычисление и доказательство 40
§2. Именные задачи (задача Архимеда, задача о бабочке и т.д.) как основа обучения школьников применению инверсии к решению геометрических задач 49
§3. Методика обучения школьников применению инверсии к решению геометрических задач с использованием компьютерных программ 56
§4. Методические особенности создания элективного курса по геометрии .. 61
§5. Разработка элективного курса «Применение инверсии к решению геометрических задач» 67
Выводы по второй главе 70
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 71
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 74
Актуальность и научная значимость настоящего исследования. Геометрические задачи, предполагающие использование инверсий в качестве способа решения, не относятся к разряду стандартных, которые изучаются в базовом курсе геометрии в средней школе. Вместе с тем, развитие у учащихся способностей к использованию нетривиальных подходов к решению задач неоспоримо является одной из важных задач, стоящих в процессе преподавания геометрии, да и математики в целом. В современном мире именно способность к поиску оригинальных подходов для решения проблем, возникающих в профессиональной деятельности, и умение использовать нестандартные пути для преодоления каждодневных сложностей является важным навыком, которым должны обладать выпускники средней школы. Несмотря на мнение части исследователей, которые в своих работах проводят мысль, что преподаванию инверсии в школе не стоит уделить пристального внимания, мы считаем, что следует выдержать разумный баланс для нестандартных методов решения, которые являются незаменимыми для развития кругозора и широты взглядов у учащихся средней школы. Необходимо обратить внимание и на важность наглядности излагаемого материала. Для учащихся разного склада мышления наглядность будет являться незаменимым компонентом для лучшего усваивания материала.
Этим и обусловлена особая актуальность и значимость настоящего исследования. Именно поэтому в педагогической науке и практике методика обучению нестандартным подходам и, в том числе, методу инверсии занимает особое место.
Конечно, для формирования навыков и умений к использованию оригинальных способов решения задач используются не только курсы математики и геометрии, но, традиционно, именно при изучении этих предметов вырабатываются стройные логические основы нестандартного мышления.
Актуальность и научная значимость исследования в настоящее время вызвана еще и тем, что потребность в знаниях нетривиальных методов и способов становится все меньше на фоне проведения экзаменов в форме тестирования, повышая, тем самым, значимость методики преподавания непосредственно в процессе обучения в довузовских учебных заведениях. Можно констатировать, что методика преподавания инверсии является весьма актуальной в качестве инструмента как при обучении просто решению задач по геометрии, так и для развития у школьников способностей к глубокому анализу и разносторонним оценкам задач.
Анализ базовой и дополнительной учебной литературы в целом показывает, что методика обучения инверсии, как и другим специфическим подходам в геометрии, отнесена на второй план, как не имеющее самостоятельной ценности и как нечто дополнительное к другим знаниям. При этом, объем представлений о методах решения задач по геометрии весьма невелик и ограничивается достаточно узким спектром методологических подходов. Выявляется противоречие между: современными требованиями к уровню развития интеллектуальных способностей личности и недостаточно высоким уровнем возможностей для этого, предусмотренных как в базовом, так и профильном курсах геометрии и математики в целом. Отмеченное противоречие позволило сформулировать проблему диссертационного исследования: выявить методические
особенности организации элективного курса по теме «Инверсия» для учащихся общеобразовательной школы при обучении математике
На текущий момент можно выделить несколько групп научных работ, посвященных проблеме методики обучения решению задач по рассматриваемой теме:
- изучение инверсии в средней школе как одного из методов решения задач на построение;
- исследование способностей к усваиванию материала в условиях профильной дифференциации;
- обучение геометрии в старших классах школы с использованием различных компьютерных программ;
- обучение старшеклассников логическому мышлению при выборе способов решения задач.
Вопрос нельзя считать достаточно подробно изученным и потребность в новых методологических подходах к преподаванию темы решения задач с использованием инверсии сохраняет свою актуальность, как одного из важных для развития кругозора и широты взглядов у учащихся средней школы.
Объект исследования - процесс обучения геометрии в основной школе.
Предмет исследования - методика обучения школьников применению инверсии к поиску решений геометрических задач как на вычисление и доказательство, так и задач на построение.
Цель исследования - систематизация и анализ методических подходов к обучению старшеклассников методам инверсии при решении задач в общеобразовательном курсе геометрии, в частности, планиметрии в рамках средней школы.
Гипотеза исследования заключается в том, что элективный курс по теме «Инверсия», реализующий компетентностный подход к обучению, будет способствовать развитию творческого мышления учащихся, повышению их уровня развития, расширению кругозора, а также на формирование ключевых компетенций и на повышение качества знаний по предмету, как в теоретическом, так и практическом аспектах.
Для достижения цели исследования, необходимо пошагово:
- провести анализ научно-практических работ по методологии преподавания нестандартных методов решения задач по геометрии,
- систематизировать нормативную базу, регулирующую методику преподавания геометрии, планиметрии в старших классах средней школы,
- исследовать типовые ошибки учащихся и основные затруднения при решении задач по геометрии, планиметрии, и, в том числе, при использовании нестандартных методов решения, включая инверсию,
- проанализировать с профессиональной педагогической точки зрения комплекс задач, используемых при преподавании геометрии, планиметрии, как в качестве базового, так и профильного и элективного предмета в школах разной профильной ориентации,
- сравнить учебно-методическую литературу, используемую для преподавания в средней школе и экзаменационных материалов за прошедшие годы по тематике данной работы,
- показать практическую значимость приведенных в работе результатов и выводов.
Задачи исследования:
1. Сравнение учебно-методических пособий различной профильной ориентации и материалов контрольных работ и внутренних экзаменов, используемых в образовательном процессе в средней школе.
2. Изучение специализированных научно-исследовательских работ, посвященных теме работы.
3. Анализ состояния методических рекомендаций, лежащих в основе процесса преподавания старшеклассникам метода инверсии и сопряженных преобразований плоскости в геометрии, планиметрии.
4. Изучение конкретного практического опыта преподавания инверсии в курсе геометрии в старших классах школ разного математического уровня,
5. Обобщение и анализ типовых сложностей и ошибок, с которыми сталкиваются учащиеся при решении геометрических задач с использованием инверсии.
6. Систематизация исследований по методике преподавания математических предметов в целом в средней школе и довузовских образовательных учреждениях.
Теоретико-методологическую основу исследования составили: основные положения личностно-ориентированного обучения С.Н. Дорофеева и дифференцированного обучения математике Р.А. Утеевой [20].
Базовыми для настоящего исследования явились также: основные положения теории и методики обучения решению геометрических задач В.А. Гусева, С.Н. Дорофеева, Г.И. Саранцева.
Методы исследования: анализ педагогической и методической литературы; изучение опыта учителей математики по данной теме исследования; сравнительный анализ учебников и учебных пособий; систематизация и обобщение материала по теме.
Опытно-экспериментальная база исследования. Исследование проводилось на базе МКОУ «Харанжинская средняя общеобразовательная школа» в области применения инверсии в курсе геометрии.
Основные этапы исследования:
1 семестр (2017-2018 уч.г.): подготовка содержания диссертации и обзор основных подходов к ее написанию, анализ ранее выполненных исследований по теме работы, анализ школьных учебников по математике, нормативных документов (стандартов, программ), анализ опыта работы базовой и профильной школы по данной теме.
2 семестр (2017-2018 уч.г.): определение теоретических и
методических основ применения инверсии в курсе геометрии довузовских учебных заведений.
3 семестр (2018-2019 уч.г.): подборка системы задач для подготовки элективного курса по теме «Применение инверсии к решению геометрических задач».
4 семестр (2018-2019 уч.г.): разработка элективного курса и методики его преподавания.
5 семестр (2019-2020 уч.г.): оформление диссертации, корректировка ранее представленного материала, уточнение аппарата исследования, формулирование выводов.
Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем предложены методические рекомендации по организации элективного курса «Применение инверсии к решению геометрических задач» в курсе геометрии общеобразовательной школы в рамках углубленного базового или профильного обучения.
Теоретическая значимость исследования:
- сформулированы теоретические основы обучения теме «Инверсия», проанализированы требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся;
- предложены рекомендации, как по форме организации элективного курса, так и по применению различных типов задач по геометрии для старшеклассников для развития учебно-познавательной учащихся.
Практическая значимость исследования состоит в том, что предложенный элективный курс по теме «Инверсия» может быть непосредственно применен на практике для старшеклассников в процессе изучения геометрии, а дидактические материалы, методические рекомендации, разработанные задания могут быть использованы в работе учителей математики, студентов педагогических вузов и колледжей.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивались:
- достаточным количеством изученных и используемых источников;
- внедрением элективного курса по теме «Инверсия» в образовательный процесс при подготовке учащихся общеобразовательной школы к Основному Государственному Экзамену по математике.
Личное участие автора в организации и проведении исследования состоит в проектировании элективного курса по теме «Инверсия», разработке заданий, в апробации и внедрении результатов исследования.
Апробация и внедрение результатов работы велись в течении всего исследования.
Основные результаты исследования отражены в 1 публикации «Некоторые вопросы технологии обучения старшеклассников решению геометрических задач с применением инверсии» в научном журнале «Вестник магистратуры», 2019, №12 (99).
На защиту выносятся:
1. Методические рекомендации обучения теме «Инверсия» в курсе геометрии общеобразовательной школы.
2. Элективный курс «Применение инверсии к решению геометрических задач».
В представленной работе рассмотрена важная и актуальная тема, которая лежит как в основе практических задач, так при преподавании теоретических вопросов планиметрии, геометрии учащимся средней школы.
Преобразование инверсии известно еще с Древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI-V веках до нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определенную последовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у кого никаких сомнений. Этот «дедуктивный» метод получил дальнейшее развитие у Эвклида, Архимеда и Апполония. Понятие инверсии у них уже ни в чем существенном не отличается от современного. Математика и, в частности, конструктивная геометрия, стали наукой тогда, когда в ней начали систематически применять логические построения, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.
Непосредственно преобразование инверсии является важным разделом для всех геометрий, в том числе, евклидовой, как на плоскости, так и в пространстве, так и для неевклидовых геометрий.
Стандартным инструментарием для выполнения геометрических построений является преобразование плоскости. Однако, особый интерес представляет построения с помощью преобразования инверсии, которые существенно облегчает решения многих задач.
Данная работа представляет с собой также и теорию и практику геометрических построений с помощью преобразования инверсии, рассмотренную на примере конкретных задач.
Первая глава посвящена теоретическим вопросам, связанным с понятием инверсии и технологией решения задач, проведения построений, основываясь на свойствах инверсии. Рассмотрены все основные аксиомы, леммы и теоремы, служащие основой для этой части геометрии. По сути, сформулировано теоретическое обоснование возможностей решения задач с помощью преобразования инверсии.
Проблема обучения учащихся преобразованиям плоскости всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время её актуальность возросла на фоне направленности процесса обучения на развитие личности.
Во второй главе разобрано большое количество практических задач в которых подробно рассмотрена техника проведения типовых построений с использованием преобразования инверсии. Эти задачи могут рассматриваться модельными для решения других, более сложных проблем конструктивной геометрии.
Приведены задачи, которые можно отнести к «историческим», и которые лежат в основе современного образования по курсу геометрии в средней школе. Помимо этого, продемонстрировано единство математики, когда алгебраические преобразования широко используются для доказательства справедливости геометрических построений.
Умение решать задачи на доказательство необходимы любому ученику, желающему не только быть успешным на уроках, на математических конкурсах и олимпиадах, но и подготовиться к поступлению в высшее учебное заведение и успешно в нем обучаться. Как показывает опыт, решение задач на доказательство часто вызывает затруднения, так как эти задачи требуют поиска пути и способа доказательства, проведения доказательственных рассуждений, выдвижения гипотез и их обоснования.
Также, во второй главе приведены примеры использования компьютерных программ для наглядного изучения преобразования инверсии.
Приведены методические особенности создания элективного курса по геометрии. Поэтапно рассмотрено создание элективного курса «Применение инверсии к решению геометрических задач».
Цель данной работы была достигнута при помощи рассмотрения теории и решения практических примеров, доступных как для учащихся на углубленном базовом уровне, так и для профильных классов и элективных курсов в средней школе.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
