СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
|
Объект исследования. Диссертация посвящена изучению краевых эллиптических задач, содержащих нелинейный член, разрывно зависящий от фазовой переменной.
Сильным решением задачи (1)-(2) называется обобщенное решение, удовлетворяющая для почти всех х е И уравнению (1). Сильное решение и задачи (1)-(2) называют полуправилъным, если для почти всех х е И значение и(х) является точкой непрерывности д0(х, •).
Пусть задана некоторая мера отклонения нелинейностей В(д,д0).
Обобщенное решение и0 е W2 (И) задачи (1)-(2) с нулевым граничным условием будем называть корректным, если найдется такое б > 0, что для любой последовательности {бк }б=р б > бк> 0, удовлетворяющей условию бк'"'—— 0, приближенная краевая задача
Ьки(х) + д'(х, и(х)) =0, х е И
Ви^а = /к
имеет по крайней мере одно обобщенное решение, причем возможно построить последовательность {ик}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, слабо сходящуюся к и0 в пространстве Ж'^ ^), где
• граничное условие удовлетворяет неравенству ||/к||у < 6к;
• коэффициенты ак(х) и ск(х) дифференциадьного онератора Ък подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ъ и отличаются от последних не более чем на 6к в метрике С(^);
• функции дк (х, и) удовлетворяют условию (*) с такой же как и для д0(х, и) функцией а 6 Ъд^) и константами Ь, г > 0 в оценке (3), а также неравенству Д(д0, дк) <6к.
Полуправильное и корректное решение называется правильным.
По аналогичной схеме вводится понятие корректного множества решений.
Множество М 6 Ж^^) обобщенных решений задачи (1)-(2) с нулевым граничным условием (/ = 0) будем называть корректным, если для любого достаточно малого £ > 0 навдется такое 6 > 0, что для любой последовательности {6к}?=п 6 > 6к> 0, удовлетворяющей условию 6кк—2‘ 0, приближенная краевая задача
Ъки(х) + дк(х, и(х)) =0, х 6 ^
Ви|до = /к
имеет по крайней мере одно обобщенное решение в —окрестности множества М пространства Н 1(^), причем из любой последовательности решений {ик}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, можно выделить подпоследовательность слабо сходя-щуюся к точке и0 6 М в пространстве 1ГуШ) где
• граничное условие удовлетворяет неравенству ||/к||у < 6к;
• коэффициенты а-(х) и ск(х) дифференциадьного онератора Ък подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ъ и отличаются от последних не более чем на 6к в метрике С(^);
• функции дк (х, и) удовлетворяют условию (*) с такой же как и для д0(х, и) функцией а е Ьд(О) и константами Ь, г > 0 в условии (*3), а также неравенству Н(д0,дк) < 5к.
Также в рамках диссертации изучаются две постановки краевых нелинейных задач с параметрами.
Задача со спектральным параметром. Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) = Адо(х,и(х)), х е О (8)
ВидП = 0, (9)
где оператор Ь, функция д0 и оператор граничного условия В описаны выше, А > 0 — спектральный параметр. Для краевой задачи (8)-(9) исследуются следующие вопросы:
1. существования нетривиальных решений при условии
до(х, 0) = 0;
2. корректность решений и устойчивость множеств решений по от-ношению к возмущениям нелинейности, спектрального параметра и дифференциального оператора.
Задача с распределенным параметром. Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) + до(х, и(х), т(х)) = 0, х е О (10)
Ви9п = /, (11)
где оператор Ь, функция / и оператор граничного условия В описаны выше, -ш(х) е Ьр(О), 1 <р < +гс, — распределенный параметр, нелинейность д0 удовлетворяет следующему условию (**):
(* * 1) функция д0 : О х К х К ^ К такова, что
(* * 1.1) при каждом фиксированном и функция g0(x, u, •) непрерывна для почти всех x G Q;
(* * 1.2) функция go(x, ^,w) для почти всех (x, w) G Q x R имеет разрывы только первого рода и непрерывна слева (справа);
(* * 1.3) функция g0(•, u, w) измерима для всех (и, w) G R x R;
(* * 2) существует постоянная b> 0 и функция a G Lq(Q), q> 2, такие, что для почти всех x G Q верно либо неравенство
|go(x, и,w)| если p —конечное число, либо неравенство
|go(x, u, w)| n—2
если p = +rc.
Для задачи (10)-(ll) рассматривается вопрос корректности множеств решений.
Актуальность темы. Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.
Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.
Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе Красноселького М.А. и Покровского В.А. в 1979 году. Еще ранее на необходимость разработки теории краевых задач с разрывными по фазовой переменной нелинейностями была отмечена в 1967 г. в совместной монографии О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова и Н.Н. Уральцевой.
Важные результаты о разрешимости краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями были получены в работах М.А. Красносельского и А.В. Покровского, К.-С. Chang, С.А. Stuart и J.F. Toland, В.Н. Павленко и других авторов. Важным моментом при изучении этих задач стало различение так называемого резонансного или нерезонансного случая. Резонансный случай характеризуется тем, что предел — lim g0(x, s)/s при почти всех x G Q 'совпадает с одним и собственных значении оператора Lс граничным условием (2). В такой ситуации приходится налагать дополнительные специальные условия, которые бы гарантировали разрешимость краевой задачи. Пионерской работой в этом направлении стала статья Ландесмана Е. и Лазера А., где впервые появилось то, что в последствии назвали условия Ландесмана-Лазера. В дальнейшем появилось много работ, в которых на нелинейность налагались условия типа Ландесмана-Лазера. Исследования в этом направлении интенсивно ведутся и по сей день.
Как было сказано выше, вместе с появлением задач, включающими разрывные нелинейности, встал сложный вопрос об устойчивости решений таких задач, что является важнейшим моментом для прикладных задач. Первые шаги в разрешении данной проблемы были сделаны в совместной работе Красносельского М.А. и Покровского А.В. в 1976г., где рассматривались ограниченные монотонные нелинейности и впервые был введен термин корректное решение для рассматриваемого класса задач.
При исследовании корректности решений определяющим моментом является принцип выбора аппроксимирующих нелинейностей, а также выбор меры отклонения исходной и приближенной нелинейности. В упомянутой работе за меру отклонения принималась хаусдорфово расстояние между графиками нелинейностей в Rn+2. Эта же мера была использована в работе 1978г. тех же авторов.
Кроме исследования на устойчивость конкретного решения краевой задачи в ситуации, когда априори невозможно гарантировать единственность решения (известно, что существуют краевые задачи рассматриваемого вида, имеющие счетное число решений и даже континуумы решений), ставиться вопрос об изучении устойчивости множеств решений.
Этой проблеме посвящен ряд работ. Для нерезонансных задач укажем на статью Павленко В.Н. и Искакова Р.С., для резонансных задач со спектральным параметром теоремы об устойчивости были доказаны в работе Павленко В.Н. и Потапова Д.К., наконец, для задач с распределенным вопрос изучался в статьях8,9Bors D. и Walczak S.
Цель работы. Получение новых теорем существования для резонансных краевых задач, установление достаточных условий корректности и правильности решений, а также доказательство результатов об устойчивости множеств решений.
Методы исследования. В диссертации к рассматриваемому классу задач применяется вариационный метод; используются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теории функций и нелинейного функционального анализа.
Научная новизна. В работе получены новые теоремы существования сильных и полуправильных решений задачи (1)-(2) в резонансном случае, когда нелинейность имеет подлинейный рост, а также установлены новые достаточные условия существования решений в случае сверхлинейного докритического роста нелинейности. Доказаны утверждения о правильных решениях и корректных множествах решений. Рассмотрены краевые задачи с параметрами, для которых также получены теоремы о существовании и устойчивости решений.
По сравнению с работой В.Н. Павленко и В.В. Винокура для резонансной задачи (1)-(2) с разрывной нелинейностью в диссертации не предполагается ограниченность нелинейного члена и вводится новое условие, обобщающее условие из упомянутой работы, а также включающее как частный случай и условие Ландесмана-Лазера и некоторые его обобщения11. Также в диссертации приводятся новые условия, гарантирующие разрешимость задачи (1)-(2) в случае, когда нелинейность имеет докритический рост. Эти условия являются более слабыми, чем те, что налагаются на нелинейность обычно в таких случаях .
Установлены теоремы о корректности решений, которые сравниваются с результатами Красносельского М.А. и Покровского А.В., при этом вводится интегральная мера близости нелинейностей, более слабая, чем хаусдорфово расстояние между графиками, использованное этими авторами в ряде их работ. Доказаны утверждения об устойчивости множеств решений задачи (8)-(9) с докритическим ростом нелинейности (что поглощает результаты Павленко В.Н. и Искакова Р. С., которые рассматривали нерезонансные коэрцитивные задачи и накладывали существенные ограничения на исходные и аппроксимирующие нелинейности). В отличие от упомянутых работ мы возмущаем также граничное условие и дифференциальный оператор.
Доказаны теоремы о существовании луча положительных собственных значений и теоремы об устойчивости множеств решений задачи (8)-(9) для нелинейностей с подлинейным ростом, что поглощает результаты14,15 Павленко В.Н. и Потапова Д.К. и ряд других, еще более узких результатов.
Также доказаны соответствующие утверждения для задачи с распределенным параметром (10)-(11), где по сравнению с работами Bors D. и Walczak S. допускаются возмущения дифференциального оператора и разрывы нелинейности по фазовой переменной (для чего вводится класс полукаратеодориевых функций и исследуются свойства таких функций) и доказывается сходимость в более сильной топологии.
Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены для исследования известных и новых классов эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями.
Апробация работы. Основные результаты докладывались конференции ИНПРИМ-2000 в Новосибирске (2000г.), на Воронижских математических школах (2003г., 2005г.), на XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ (2004г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations"в Алуште (2003г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[9], список которых приводится в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 96 страниц, включая библиографический список из 55 наименований.
Сильным решением задачи (1)-(2) называется обобщенное решение, удовлетворяющая для почти всех х е И уравнению (1). Сильное решение и задачи (1)-(2) называют полуправилъным, если для почти всех х е И значение и(х) является точкой непрерывности д0(х, •).
Пусть задана некоторая мера отклонения нелинейностей В(д,д0).
Обобщенное решение и0 е W2 (И) задачи (1)-(2) с нулевым граничным условием будем называть корректным, если найдется такое б > 0, что для любой последовательности {бк }б=р б > бк> 0, удовлетворяющей условию бк'"'—— 0, приближенная краевая задача
Ьки(х) + д'(х, и(х)) =0, х е И
Ви^а = /к
имеет по крайней мере одно обобщенное решение, причем возможно построить последовательность {ик}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, слабо сходящуюся к и0 в пространстве Ж'^ ^), где
• граничное условие удовлетворяет неравенству ||/к||у < 6к;
• коэффициенты ак(х) и ск(х) дифференциадьного онератора Ък подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ъ и отличаются от последних не более чем на 6к в метрике С(^);
• функции дк (х, и) удовлетворяют условию (*) с такой же как и для д0(х, и) функцией а 6 Ъд^) и константами Ь, г > 0 в оценке (3), а также неравенству Д(д0, дк) <6к.
Полуправильное и корректное решение называется правильным.
По аналогичной схеме вводится понятие корректного множества решений.
Множество М 6 Ж^^) обобщенных решений задачи (1)-(2) с нулевым граничным условием (/ = 0) будем называть корректным, если для любого достаточно малого £ > 0 навдется такое 6 > 0, что для любой последовательности {6к}?=п 6 > 6к> 0, удовлетворяющей условию 6кк—2‘ 0, приближенная краевая задача
Ъки(х) + дк(х, и(х)) =0, х 6 ^
Ви|до = /к
имеет по крайней мере одно обобщенное решение в —окрестности множества М пространства Н 1(^), причем из любой последовательности решений {ик}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, можно выделить подпоследовательность слабо сходя-щуюся к точке и0 6 М в пространстве 1ГуШ) где
• граничное условие удовлетворяет неравенству ||/к||у < 6к;
• коэффициенты а-(х) и ск(х) дифференциадьного онератора Ък подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ъ и отличаются от последних не более чем на 6к в метрике С(^);
• функции дк (х, и) удовлетворяют условию (*) с такой же как и для д0(х, и) функцией а е Ьд(О) и константами Ь, г > 0 в условии (*3), а также неравенству Н(д0,дк) < 5к.
Также в рамках диссертации изучаются две постановки краевых нелинейных задач с параметрами.
Задача со спектральным параметром. Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) = Адо(х,и(х)), х е О (8)
ВидП = 0, (9)
где оператор Ь, функция д0 и оператор граничного условия В описаны выше, А > 0 — спектральный параметр. Для краевой задачи (8)-(9) исследуются следующие вопросы:
1. существования нетривиальных решений при условии
до(х, 0) = 0;
2. корректность решений и устойчивость множеств решений по от-ношению к возмущениям нелинейности, спектрального параметра и дифференциального оператора.
Задача с распределенным параметром. Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) + до(х, и(х), т(х)) = 0, х е О (10)
Ви9п = /, (11)
где оператор Ь, функция / и оператор граничного условия В описаны выше, -ш(х) е Ьр(О), 1 <р < +гс, — распределенный параметр, нелинейность д0 удовлетворяет следующему условию (**):
(* * 1) функция д0 : О х К х К ^ К такова, что
(* * 1.1) при каждом фиксированном и функция g0(x, u, •) непрерывна для почти всех x G Q;
(* * 1.2) функция go(x, ^,w) для почти всех (x, w) G Q x R имеет разрывы только первого рода и непрерывна слева (справа);
(* * 1.3) функция g0(•, u, w) измерима для всех (и, w) G R x R;
(* * 2) существует постоянная b> 0 и функция a G Lq(Q), q> 2, такие, что для почти всех x G Q верно либо неравенство
|go(x, и,w)| если p —конечное число, либо неравенство
|go(x, u, w)| n—2
если p = +rc.
Для задачи (10)-(ll) рассматривается вопрос корректности множеств решений.
Актуальность темы. Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.
Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.
Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе Красноселького М.А. и Покровского В.А. в 1979 году. Еще ранее на необходимость разработки теории краевых задач с разрывными по фазовой переменной нелинейностями была отмечена в 1967 г. в совместной монографии О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова и Н.Н. Уральцевой.
Важные результаты о разрешимости краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями были получены в работах М.А. Красносельского и А.В. Покровского, К.-С. Chang, С.А. Stuart и J.F. Toland, В.Н. Павленко и других авторов. Важным моментом при изучении этих задач стало различение так называемого резонансного или нерезонансного случая. Резонансный случай характеризуется тем, что предел — lim g0(x, s)/s при почти всех x G Q 'совпадает с одним и собственных значении оператора Lс граничным условием (2). В такой ситуации приходится налагать дополнительные специальные условия, которые бы гарантировали разрешимость краевой задачи. Пионерской работой в этом направлении стала статья Ландесмана Е. и Лазера А., где впервые появилось то, что в последствии назвали условия Ландесмана-Лазера. В дальнейшем появилось много работ, в которых на нелинейность налагались условия типа Ландесмана-Лазера. Исследования в этом направлении интенсивно ведутся и по сей день.
Как было сказано выше, вместе с появлением задач, включающими разрывные нелинейности, встал сложный вопрос об устойчивости решений таких задач, что является важнейшим моментом для прикладных задач. Первые шаги в разрешении данной проблемы были сделаны в совместной работе Красносельского М.А. и Покровского А.В. в 1976г., где рассматривались ограниченные монотонные нелинейности и впервые был введен термин корректное решение для рассматриваемого класса задач.
При исследовании корректности решений определяющим моментом является принцип выбора аппроксимирующих нелинейностей, а также выбор меры отклонения исходной и приближенной нелинейности. В упомянутой работе за меру отклонения принималась хаусдорфово расстояние между графиками нелинейностей в Rn+2. Эта же мера была использована в работе 1978г. тех же авторов.
Кроме исследования на устойчивость конкретного решения краевой задачи в ситуации, когда априори невозможно гарантировать единственность решения (известно, что существуют краевые задачи рассматриваемого вида, имеющие счетное число решений и даже континуумы решений), ставиться вопрос об изучении устойчивости множеств решений.
Этой проблеме посвящен ряд работ. Для нерезонансных задач укажем на статью Павленко В.Н. и Искакова Р.С., для резонансных задач со спектральным параметром теоремы об устойчивости были доказаны в работе Павленко В.Н. и Потапова Д.К., наконец, для задач с распределенным вопрос изучался в статьях8,9Bors D. и Walczak S.
Цель работы. Получение новых теорем существования для резонансных краевых задач, установление достаточных условий корректности и правильности решений, а также доказательство результатов об устойчивости множеств решений.
Методы исследования. В диссертации к рассматриваемому классу задач применяется вариационный метод; используются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теории функций и нелинейного функционального анализа.
Научная новизна. В работе получены новые теоремы существования сильных и полуправильных решений задачи (1)-(2) в резонансном случае, когда нелинейность имеет подлинейный рост, а также установлены новые достаточные условия существования решений в случае сверхлинейного докритического роста нелинейности. Доказаны утверждения о правильных решениях и корректных множествах решений. Рассмотрены краевые задачи с параметрами, для которых также получены теоремы о существовании и устойчивости решений.
По сравнению с работой В.Н. Павленко и В.В. Винокура для резонансной задачи (1)-(2) с разрывной нелинейностью в диссертации не предполагается ограниченность нелинейного члена и вводится новое условие, обобщающее условие из упомянутой работы, а также включающее как частный случай и условие Ландесмана-Лазера и некоторые его обобщения11. Также в диссертации приводятся новые условия, гарантирующие разрешимость задачи (1)-(2) в случае, когда нелинейность имеет докритический рост. Эти условия являются более слабыми, чем те, что налагаются на нелинейность обычно в таких случаях .
Установлены теоремы о корректности решений, которые сравниваются с результатами Красносельского М.А. и Покровского А.В., при этом вводится интегральная мера близости нелинейностей, более слабая, чем хаусдорфово расстояние между графиками, использованное этими авторами в ряде их работ. Доказаны утверждения об устойчивости множеств решений задачи (8)-(9) с докритическим ростом нелинейности (что поглощает результаты Павленко В.Н. и Искакова Р. С., которые рассматривали нерезонансные коэрцитивные задачи и накладывали существенные ограничения на исходные и аппроксимирующие нелинейности). В отличие от упомянутых работ мы возмущаем также граничное условие и дифференциальный оператор.
Доказаны теоремы о существовании луча положительных собственных значений и теоремы об устойчивости множеств решений задачи (8)-(9) для нелинейностей с подлинейным ростом, что поглощает результаты14,15 Павленко В.Н. и Потапова Д.К. и ряд других, еще более узких результатов.
Также доказаны соответствующие утверждения для задачи с распределенным параметром (10)-(11), где по сравнению с работами Bors D. и Walczak S. допускаются возмущения дифференциального оператора и разрывы нелинейности по фазовой переменной (для чего вводится класс полукаратеодориевых функций и исследуются свойства таких функций) и доказывается сходимость в более сильной топологии.
Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены для исследования известных и новых классов эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями.
Апробация работы. Основные результаты докладывались конференции ИНПРИМ-2000 в Новосибирске (2000г.), на Воронижских математических школах (2003г., 2005г.), на XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ (2004г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations"в Алуште (2003г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[9], список которых приводится в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 96 страниц, включая библиографический список из 55 наименований.
Подобные работы
- ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТЙПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Авторефераты (РГБ), математика. Язык работы: Русский. Цена: 250 р. Год сдачи: 2003 - МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРЕДЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ
Магистерская диссертация, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4850 р. Год сдачи: 2018