ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ
|
Актуальность представляемой диссертации. Задача связанного псевдообращения заключается в построении элемента ж*, ближайшего к заданному XQЕ X, принадлежащего множеству
ХА = {х ЕХг: ||Аж - у =inf ||Аи - т/||}, (1)
иеХх
где Xi={x Е Х:||Вж—z||= inf ||Bu—z||}, A: X—>У, В: X—tZ-линейные иеХ
непрерывные операторы и X, Y, Z - гильбертовы пространства.
Интерес к задаче (1) связан с двумя обстоятельствами: во-первых, она является абстрактной моделью многих проблем математической физики, оптимального управления и других областей знания; во-вторых, при отсутствии связей, т.е. В=0, z=0, она переходит в классическую задачу псевдообращения, а именно, в проблему построения нормального относительно XQпсевдорешения уравнения
Ах = у. (2)
Теории и методам решения некорректного уравнения (2) посвящены многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях, и которые нашли отражение в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина, В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы, М.М. Лаврентьева, Ф.П. Васильева, Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова, А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского, В.В. Васина и А.Л. Агеева и многих других.
Задача связанного псевдообращения в указанной несколько расширенной постановке, когда заданный элемент ранее не рассматривалась вообще. При а?о=О задача связанного псевдообращения поставлена независимо в работах N. Minamide и К. Nakamura и В.А. Морозова. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и выписали точное решение задачи, а В.А. Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметрический регуляризирующий алгоритм его построения к В.А. Морозов и его последователи В.И. Мелешко, С. Джумаев, Б. Алиев, а также L. Eiden, C.W. Groetsch и другие исследовали задачу связанного псевдообращения и методы ее решения при условии, что операторы А и В обладают так называемым свойством дополнительности, из которого в частности следует, что множество ХА одноэлементно. При отсутствии условия дополнительности задачу (1) рассмотрел Р.А. Шафиев, который предложил двупараметрический регуляризирующий алгоритм ее решения. Вариационный вариант этого метода регуляризации рассмотрели его ученики М.Я. Кугель и И.Ю. Ястребова.
Для решения уравнения (2), кроме вариационных регуляризирующих методов, известны удобные в вычислительной практике итерационные процедуры. Проблема распространения итерационных методов на случай решения задачи связанного псевдообращения, несомненно, представляет интерес.
Цель работы: разработать и исследовать итерационные методы решения задачи связанного псевдообращения; решить проблемы априорного и апостериорного выбора параметров регуляризации, правила останова.
Методика исследования широко использует аппарат теории псевдообращения, теории регуляризации, а также общие результаты функционального анализа и теории возмущений.
Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации:
- предложен способ построения регулярных методов решения задачи связанного псевдообращения, базирующийся на аппроксимирующей задаче;
- построены итерированный вариант двупараметрического метода регуляризации, а также неявные и явные схемы итерационных методов решения задачи связанного псевдообращения. Исследована сходимость и устойчивость этих методов в классе любых малых по норме возмущений операторов А, В;
- установлены оценки погрешности методов и на основе принципа минимума мажорантных оценок решена проблема априорного выбора параметров регуляризации;
- исследована проблема выбора параметра в регуляризирующем алгоритме, порожденном аппроксимирующей задачей, в случае, когда оба оператора А, В заданы приближенно. Обоснован выбор параметра по принципу невязки и по обобщенному принципу невязки в суженном классе возмущений операторов А, В, а именно, в классе устойчивого вычисления псевдообратного оператора Г+, который переходит в класс любых малых по норме возмущений А, В при условии дополнительности этих операторов.
Исследованный регуляризирующий алгоритм, зависящий от одного параметра г, по существу обобщает метод регуляризации В.А. Морозова из цитированной книги. Проблема выбора исследована В.А. Морозовым, а также И.Ю. Ястребовой при возмущении только одного оператора В;
- сформулированы и обоснованы критерии апостериорного последовательного выбора параметров регуляризации для случая неявного итерационного метода в суженном классе возмущений операторов А в-
- рассмотрено применение построенной теории к решению задач оптимального управления с минимальными затратами энергии.
Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач и разного рода интегральных уравнений, к которым сводится достаточно широкий круг прикладных задач.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались:
- на научных семинарах кафедры математического анализа Ниже-городского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.);
- на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.);
- на VI, VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 2001, 2002,
2003, 2004 г.г.);
- на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(г. Екатеринбург, 2004 г.);
- на научном семинаре "Методы оптимизации "кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов)(2005 г.);
- на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления "Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители - проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2005 г.);
- на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель - проф. Н.П. Рязанцева) (2005 г.).
Основные результаты отражены в 11 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [9-11], выполненных в соавторстве с Р.А. Шафиевым, личным вкладом диссертанта являются формулировки и доказательства теорем. Р.А. Шафиеву принадлежат постановки задач, идеи доказательств основных теорем и общее руководство. В совместных работах [5, 6], выполненных в соавторстве с Е.А. Бондарь личным вкладом диссертанта является рассмотрение вопросов, связанных с неявными итерационными схемами, а сфера деятельности Е.А. Бондарь - явные итерационные методы. В совместных работах с В.Е. Уваровым [7, 8] диссертанту принадлежат постановки задач и общее руководство.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования. Материал диссертации изложен на 92 страницах.
ХА = {х ЕХг: ||Аж - у =inf ||Аи - т/||}, (1)
иеХх
где Xi={x Е Х:||Вж—z||= inf ||Bu—z||}, A: X—>У, В: X—tZ-линейные иеХ
непрерывные операторы и X, Y, Z - гильбертовы пространства.
Интерес к задаче (1) связан с двумя обстоятельствами: во-первых, она является абстрактной моделью многих проблем математической физики, оптимального управления и других областей знания; во-вторых, при отсутствии связей, т.е. В=0, z=0, она переходит в классическую задачу псевдообращения, а именно, в проблему построения нормального относительно XQпсевдорешения уравнения
Ах = у. (2)
Теории и методам решения некорректного уравнения (2) посвящены многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях, и которые нашли отражение в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина, В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы, М.М. Лаврентьева, Ф.П. Васильева, Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова, А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского, В.В. Васина и А.Л. Агеева и многих других.
Задача связанного псевдообращения в указанной несколько расширенной постановке, когда заданный элемент ранее не рассматривалась вообще. При а?о=О задача связанного псевдообращения поставлена независимо в работах N. Minamide и К. Nakamura и В.А. Морозова. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и выписали точное решение задачи, а В.А. Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметрический регуляризирующий алгоритм его построения к В.А. Морозов и его последователи В.И. Мелешко, С. Джумаев, Б. Алиев, а также L. Eiden, C.W. Groetsch и другие исследовали задачу связанного псевдообращения и методы ее решения при условии, что операторы А и В обладают так называемым свойством дополнительности, из которого в частности следует, что множество ХА одноэлементно. При отсутствии условия дополнительности задачу (1) рассмотрел Р.А. Шафиев, который предложил двупараметрический регуляризирующий алгоритм ее решения. Вариационный вариант этого метода регуляризации рассмотрели его ученики М.Я. Кугель и И.Ю. Ястребова.
Для решения уравнения (2), кроме вариационных регуляризирующих методов, известны удобные в вычислительной практике итерационные процедуры. Проблема распространения итерационных методов на случай решения задачи связанного псевдообращения, несомненно, представляет интерес.
Цель работы: разработать и исследовать итерационные методы решения задачи связанного псевдообращения; решить проблемы априорного и апостериорного выбора параметров регуляризации, правила останова.
Методика исследования широко использует аппарат теории псевдообращения, теории регуляризации, а также общие результаты функционального анализа и теории возмущений.
Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации:
- предложен способ построения регулярных методов решения задачи связанного псевдообращения, базирующийся на аппроксимирующей задаче;
- построены итерированный вариант двупараметрического метода регуляризации, а также неявные и явные схемы итерационных методов решения задачи связанного псевдообращения. Исследована сходимость и устойчивость этих методов в классе любых малых по норме возмущений операторов А, В;
- установлены оценки погрешности методов и на основе принципа минимума мажорантных оценок решена проблема априорного выбора параметров регуляризации;
- исследована проблема выбора параметра в регуляризирующем алгоритме, порожденном аппроксимирующей задачей, в случае, когда оба оператора А, В заданы приближенно. Обоснован выбор параметра по принципу невязки и по обобщенному принципу невязки в суженном классе возмущений операторов А, В, а именно, в классе устойчивого вычисления псевдообратного оператора Г+, который переходит в класс любых малых по норме возмущений А, В при условии дополнительности этих операторов.
Исследованный регуляризирующий алгоритм, зависящий от одного параметра г, по существу обобщает метод регуляризации В.А. Морозова из цитированной книги. Проблема выбора исследована В.А. Морозовым, а также И.Ю. Ястребовой при возмущении только одного оператора В;
- сформулированы и обоснованы критерии апостериорного последовательного выбора параметров регуляризации для случая неявного итерационного метода в суженном классе возмущений операторов А в-
- рассмотрено применение построенной теории к решению задач оптимального управления с минимальными затратами энергии.
Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач и разного рода интегральных уравнений, к которым сводится достаточно широкий круг прикладных задач.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались:
- на научных семинарах кафедры математического анализа Ниже-городского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.);
- на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.);
- на VI, VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 2001, 2002,
2003, 2004 г.г.);
- на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(г. Екатеринбург, 2004 г.);
- на научном семинаре "Методы оптимизации "кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов)(2005 г.);
- на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления "Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители - проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2005 г.);
- на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель - проф. Н.П. Рязанцева) (2005 г.).
Основные результаты отражены в 11 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [9-11], выполненных в соавторстве с Р.А. Шафиевым, личным вкладом диссертанта являются формулировки и доказательства теорем. Р.А. Шафиеву принадлежат постановки задач, идеи доказательств основных теорем и общее руководство. В совместных работах [5, 6], выполненных в соавторстве с Е.А. Бондарь личным вкладом диссертанта является рассмотрение вопросов, связанных с неявными итерационными схемами, а сфера деятельности Е.А. Бондарь - явные итерационные методы. В совместных работах с В.Е. Уваровым [7, 8] диссертанту принадлежат постановки задач и общее руководство.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования. Материал диссертации изложен на 92 страницах.