Актуальность темы. Основы теории нормальных форм были заложены А. Пуанкаре еще в конце 19 века. Значительный вклад в развитие этой теории внесли X. Дюлак, К. Зигель, К. Чень, Ф. Такенс, В.А. Кондратьев, В.С. Самовол, Г.Р. Белицкий, Г. Селл, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, Ю.С. Ильяшенко, А.С. Пяртли и др.
Вопросы нормализации вещественных полей и отображе-ний на инвариантном многообразии рассматривались в ра-ботах Ж. Адамара, О. Перрона, В.А. Плисса, М. Хирша, К. Пью, М. Шуба, Ф. Дюмортье, Ю.Н. Бибикова, В.Ф. Ла¬зуткина.
Как правило, в задачах аналитической классификации получали результаты двух типов: либо доказывали совпадение аналитической и формальной классификаций, либо находили условия, гарантирующие расходимость нормализующих рядов. Результаты принципиально иного характера были получены за последние 24 года. В 1980 г. в задаче об аналитической классификации ростков одномерных отображений с тождественной линейной частью были обнаружены функциональные инварианты (Ж. Экалль, С.М. Воронин). В дальнейшем функциональные инварианты были построены для ростков резонансных одномерных отображений, а также в задаче об орбитальной классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости (Ж. Экалль, Б. Мальгранж, Ж. Мартине, Ж.-П. Рамис, Ю.С. Ильяшенко, С.М. Воронин, П.М. Елизаров, А.А. Щебаков, А.А. Гринчий).
Цель работы. Целью работы является построение полной системы инвариантов в задаче об аналитической классификации вырожденных элементарных (седло-узловых) особых точек на комплексной плоскости.
Методы исследования. Основным методом исследования является метод, который условно можно назвать методом „нормализующих атласов“. Состоит он в том, что нормали¬зация исследуемого объекта проводится там, где ее удается провести. Построенный набор нормализующих отображений образует так называемый нормализующий атлас на некото¬ром многообразии (области). Сутв метода состоит в том, что функции перехода этого атласа обычно и дают список инва-риантов аналитической классификации. Метод нормализующих атласов использовался ранее в работах Экалля, Мартине, Рамиса, Илвяшенко, Воронина, Гринчий и др.
Кроме того, в работе использовались теорема о сжимающих отображениях и метод конструирования аналитических объектов, основанный на использовании техники почти комплексных структур.
Новизна полученных результатов. В работе получе¬ны следующие результаты:
- доказана теорема о секториальной нормализации седло-узловых особых точек;
- получена аналитическая классификация таких точек: она не совпадает с формальной и имеет функциональные мо¬дули;
- получено полное описание аналитической группы сим-метрий, найдены достаточные условия аналитической экви-валентности ростка седло-узлового векторного поля и его формальной нормальной формы.
Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Существенность полученных результатов заключается в том, что они позволяют почти полностью завершить так называемую „программу Пуанкаре“ исследования особых точек векторных полей на плоскости: не до конца исследованными теперь остаются лишь седловые особые точки с „плохим“ отношением собственных значений линейной части. Полученные результаты могут найти применение во всех аналитических задачах теории динамических систем, в которых возникают вырожденные элементарные особые точки. Кроме того, данные результаты могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории динамических систем в университетах.
Апробация работы. Результаты изложенные в диссертационной работе, были представлены: на Воронежской зимней математической школе „Современник методы в теории краевых задач“ (Воронеж, 1999г.), Всероссийской научно-практической конференции „Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе“ (Магнитогорск, 1999г.), Воронежской зимней математической школе „Современный анализ и его приложения“ (Воронеж, 2000г.), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000г.), Международной конференции „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели“ (Челябинск, 2002г.), Всеросссийской конференции „Алгоритмический анализ неустойчивых задач“ (Екатеринбург, 2004г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 ра-бот, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография содержит 100 наименований работ российских и зарубежных авторов.
