Актуальность темы. Интерес к разностным уравнениям с дискретным аргументом стимулируется вопросами математического моделирования в различных областях естествознания и проблемами теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Фундаментальные основы теории этих уравнений изложены в монографиях А.О. Гельфонда, А. Халаная и Д. Векслера, Д.И. Мартынюка, И.В. Гайшуна, А.М. Самарского. Исследования разностных уравнений с дискретным аргументом продолжаются и в наши дни. Развитие теории разностных уравнений с непрерывным аргументом стимулируется потребностями математического моделирования и проблемами, связанными с нахождением решений функциональных уравнений, которые возникают в ходе изучения различных математических объектов. Исследования разностных уравнений установили их тесную связь с дифференциально-разностными уравнениями. Основные положения теории этих уравнений изложены в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной, Р. Веллмана и К.Л. Кука, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова, Н.Н. Красовского, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина, С.Н. Шиманова. Поэтому терминология и методология исследования последних урав¬нений была использована для разностных уравнений. Наиболее изученным объектом являются разностные уравнения с постоянными отклонениями аргументов. Им посвящены работы А.Б. Антоневича, М.Г. Близорукова, М.М. Кипниса, В.Г. Курбатова, А.А. Миролюбова, Г.П. Пелюха, Е.Ю. Романенко, М.А. Солдатова, А.Н. Шарковского, J.M. Ferreira и других авторов. Для данного класса систем получены условия существования решений разной степени гладкости, найдены представления общего решения линейной неоднородной системы и разработаны методы исследования устойчивости. Разностные уравнения с переменными отклонениями аргументов называют также функциональными уравнениями. Проблема существования и представления решений для них является достаточно сложной. Она изучалась в работах Л.П. Кучко, В.В. Митюшева, Г.П. Пелюха, М. Kuczma и других. Разностные уравнения с распределенными отклонениями аргументов изучены плохо. В настоящей работе мы называем их функционально-разностными по аналогии с функционально-дифференциальными уравнениями. Такие объекты привлекали внимание исследователей в ходе изучения математических моделей, описываемых интегральными уравнениями Вольтерры и функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа.
В работах J. Hale и D. Henry установлена связь линейных стационарных функционально-разностных уравнений с теорией сильно непрерывных полугрупп и доказано утверждение, позволяющее делать заключение об устойчивости нулевого решения на основе анализа расположения корней характеристического уравнения.
Объектом исследования настоящей работы является линейная система функционально-разностных уравнений.
Цель работы. Предложить методы построения общего решения линейной системы функционально-разностных уравнений в стационарном и нестационарном случаях. Полученные результаты использовать при исследовании устойчивости рассматриваемых систем.
Методы исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория разностных и функционально-дифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория устойчивости движения. При нахождении аналитического представления общего решения системы функционально-разностных уравнений основным является результат о виде линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций. При исследовании устойчивости решений основными являются понятия эволюционного оператора и оператора монодромии.
Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить решения начальной задачи Коши для систем функционально-разностных уравнений, а также устанавливать условия устойчивости решений этих уравнений. На защиту выносятся следующие результаты:
1) установлены условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений;
2) получены аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений;
3) разработаны методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений;
4) в функциональном пространстве состояний введены понятия эволюционного оператора, оператора монодромии и доказаны общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем;
5) найдены условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования конкретных функционально-разностных уравнений, в том числе на устойчивость, и дальнейшего развития теории функционально-разностных уравнений, а также в качестве лекций специального курса.
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на 4-й международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2003); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения- XIII"(2002), "Понтрягинские чтения - XIV"(2003), "Понтрягинские чтения - XV" (2004); XXVI конференции молодых ученых математико-механического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004); Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(Екатеринбург, 2004); семинаре кафедры теоретической механики математико-механического факультета УрГУ им. А.М. Горького (Екатеринбург, 1998-2004).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [1]-[9].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования, общий объем - 112 страниц печатного текста.
