Актуальность темы. Большинство атмосферных явлений, таких как образование облаков, больших атмосферных вихрей (торнадо), движение аэрозольных частиц над большими городами тесно связаны с турбулентными пульсациями гидродинамических и теплофизических характеристик: скорости, давления, температуры и др. Это следует уже из того, что уравнения Рейнольдса [1], описывающие осредненные турбулентные потоки, содержат квадратичные моменты по пульсациям скорости (тензор турбулентных напряжений). Эти уравнения не могут быть разрешены без введения дополнительных эмпирических соотношений (проблема замыкания) [2]. Тем не менее, существует надежда, что для некоторых частных случаев турбулентных течений эта проблема может быть решена. И, прежде всего, это касается изотропной турбулентности как наиболее простого типа турбулентного движения, которым характеризуется микроструктура подавляющего большинства реальных, неизотропных турбулентных потоков (локальная изотропность) [3].
Таким образом, построение математических моделей, описывающих временную и пространственную динамику флуктуаций (пульсаций) теплофизических и гидродинамических параметров изотропной турбулентности является на сегодняшний день одной из актуальных проблем теплофизики и теоретической физики.
Цель работы. Целью работы являлось построение детерминированной математической модели изотропных турбулентных пульсаций теплофизических и гидродинамических параметров развитой турбулентности, учитывающей вязкоупругие свойства и последействие турбулентной среды.
Согласно общей цели основными задачами настоящего исследования являются:
1. Построение системы уравнений движения вязкоупругой среды на основе уравнений Навье-Стокса и уравнения Максвелла.
2. Нахождение в рамках полученной системы уравнений одномерного нелинейного дифференциального уравнения (НДУ) для изотропных турбулентных пульсаций скорости в инерционном интервале вязкоупругой среды с запаздыванием; выражений для изотропных турбулентных пульсаций температуры, пространственного масштаба, плотности, скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений.
3. Осуществление перехода от НДУ интегрированием к одномерному отображению, как одному из методов исследования в рамках нелинейной динамики.
4. Проведение численных расчетов одномерных моделей. Исследование свойств полученных хаотических решений для динамики турбулентных пульсаций гидродинамических и теплофизических параметров, сравнение результатов с экспериментальными данными.
Научная новизна и защищаемые положения.
1. Обоснован и предложен новый подход к рассмотрению развитых турбулентных потоков с позиций вязкоупругих сред и получен критерий применимости такого подхода. Сделано обобщение уравнений Навье-Стокса на случай движения вязкоупругих сред и найдена соответствующая система дифференциальных уравнений второго порядка со временем релаксации внутренних напряжений.
2. В рамках системы уравнений движения вязкоупругой среды предложены две математические модели, описывающие хаотические пульсации скорости в инерционном интервале изотропной турбулентной вязкоупругой среды с запаздыванием при больших числах Рейнольдса. Описано возникновение жесткой турбулентности, перемежаемости и гистерезиса.
Первая модель представляет собой одномерное НДУ второго порядка с переменным коэффициентом затухания в условиях периодического изменения осредненного градиента давления. Вторая модель в виде одномерного отображения получается интегрированием одномерного НДУ на конечном временном интервале в предположении, что: а) возникновение (распад) турбулентных вихрей в рассматриваемом турбулентном потоке является периодическим во времени процессом, происходящим за времена, много меньшие самого периода; б) время релаксации напряжений в турбулентной среде много меньше времени ретардации (времени запаздывания); в) осредненный градиент давления равен нулю.
Обе модели включают также выражения для изотропных турбулентных пульсаций температуры, пространственного масштаба, плотности, скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений. Для первой модели разработаны алгоритмы расчета, а для второй модели предложены выражения, позволяющие рассчитать показатели Ляпунова, энтропию Колмогорова и время забывания начальных условий.
3. В рамках первой модели показано удовлетворительное количественное соответствие экспериментальным данным следующих теоретически полученных величин: а) периодов турбулентных пульсаций скорости; б) коэффициента турбулентной диффузии; в) корреляционной функции поперечных пульсаций скорости; г) коэффициентов моментов сопротивления, моментов силы сопротивления свободно вращающегося диска и диска в кожухе; д) спектров мощности турбулентных пульсаций скорости и температуры. Для обеих моделей показывается, что изначально близкие фазовые траектории различных пульсационных характеристик экспоненциально расходятся за характерное время, что свидетельствует о забывании рассматриваемой системой начальных условий и о необратимости описываемых процессов в турбулентности.
Рассчитываются также корреляционная размерность диссипативного (странного) аттрактора, спектры пульсаций плотности и масштаба пространственных пульсаций. Для одномерного НДУ разработаны алгоритмы построения бифуркационных диаграмм в зависимости от числа Рейнольдса и других управляющих параметров, что существенно расширяет метод нейтральных кривых применительно к развитому турбулентному течению.
4. Впервые для одномерной задачи предложена и теоретически обоснована нелинейная модель для мгновенной скорости турбулентной диссипации энергии в виде полинома четвертой степени по пульсациям скорости в инерционном интервале. Использование этой модели для развитой турбулентности позволяет обосновать теоретически законы Колмогорова-Обухова «одной трети» и «пяти третей», а также соотношения для интервала сильной диссипации, найденные ранее из соображений размерности. Теория позволила, в том числе, определить константы в этих законах и соотношениях.
5. Установлено, что переход к развитой изотропной турбулентности в соответствии с предлагаемыми одномерными моделями происходит по сценарию Фейгенбаума посредством удвоения периода.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенная в диссертационной работе система уравнений движения вязкоупругой среды может быть использована для расчета макроскопических (осредненных) параметров развитых изотропных турбулентных течений, для которых существенными являются их вязкоупругие свойства, а применимость уравнений Навье-Стокса в силу этого является ограниченной. Вытекающие из этой системы уравнений одномерные пульсационные модели движения вязкоупругой среды, а также другие выражения могут быть применены к расчету изотропных турбулентных пульсаций скорости, плотности, температуры, пространственного масштаба, величины скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, были доложены на 7-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков в г. Санкт-Петербурге (2001), Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Самара (2002), на 12-й межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в г. Самара (2002), на 13-й Зимней школе по механике сплошных сред в Перми (2003), на Международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» в г. Москва (2004), на кафедре общей и молекулярной физики Уральского государственного университета (2004), на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета (2004).
Публикации. По теме диссертации у автора имеется семнадцать публикаций: 3 статьи в реферируемых журналах, 6 статей в сборниках и трудах конференций и 7 тезисов докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и одного приложения. Каждая глава имеет заключение и разбита на параграфы. Объем диссертации составляет 141 страницу, включая 42 рисунка, 2 таблицы и список литературы, содержащий 104 наименования.
1. Обоснован новый подход к рассмотрению развитых турбулентных потоков с позиций вязкоупругих сред и получен критерий применимости такого подхода. Предложена система уравнений движения вязкоупругой среды на основе уравнений Навье-Стокса и уравнения Максвелла для тензора внутренних напряжений, которая позволяет описывать движения реологических сред с существенными вязкоупругими свойствами.
2. Найдено в рамках полученной системы уравнений движения вязкоупругой среды одномерное нелинейное дифференциальное уравнение (НДУ) второго порядка для изотропных турбулентных пульсаций скорости в инерционном интервале движений турбулентной среды с запаздыванием. Для развитой турбулентности в инерционном интервале предложены также выражения для изотропных турбулентных пульсаций температуры, пространственного масштаба, плотности, скорости турбулентной диссипации энергии и компонент тензора внутренних напряжений.
3. Осуществлен переход от НДУ интегрированием к одномерному отображению в целях наиболее полного исследования динамических характеристик турбулентного движения в рамках нелинейной динамики.
4. Установлено, что нормированные теоретические спектры мощности турбулентных пульсаций скорости и температуры, построенные по непрерывной модели, хорошо соответствуют экспериментальным спектрам, как по волновым числам, так и по спектральной плотности. Показано, что в случае однонаправленного характера пульсаций скорости энергетический спектр, построенный по итерациям одномерного отображения, является квадратичным, а при переходе к двунаправленным пульсациям спектр становится близким к колмогоровскому.
5. Получено соответствие с законами развитой турбулентности в теории Колмогорова-Обухова для инерционного интервала и интервала сильной диссипации. Вычислены константы в этих законах.
6. Установлено, что переход к развитой турбулентности по описываемой модели происходит по сценарию Фейгенбаума посредством удвоения периода.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
