УСТОЙЧИВОСТЬ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКАМИ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
|
Актуальность темы. Изучение многих реальных процессов, происходящих в природе, технике, естествознании, связано с рассмотрением дифференциальных уравнений, параметры которых случайные функции времени. Математическое моделирование динамики таких систем проводится с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Основы теории стохастических дифференциальных уравнений были заложены в работах К. Ито, Р.Л. Стратоновича, И.И. Гихмана, А.В. Скорохода, D. Williams, R.S. Bucy, A. Friedman и др. в пятидесятых годах прошлого века. В современной теории случайных процессов широкое распространение также получили модели, параметрами которых являются однородные марковские цепи с конечным числом состояний. Такое описание объекта управления оказалось наиболее полным, поскольку однородная марковская цепь несёт информацию о режиме (или структуре) объекта в данный момент времени, а фазовый вектор описывает его состояние в данном режиме. В отечественной литературе описанные системы называют системами со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «системы со скачками» (jump systems).
Одним из основных условий физической реализуемости эволюционного процесса является его устойчивость. Основы теории устойчивости и управления систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, заложены Н.Н. Красовским, И.Я. Кацом, Р.З. Хасьминским и Э.А. Лидским в начале 60-х годов 20 века. Круг исследования стохастических систем со структурными изменениями значительно расширяется в работах В.Н Афанасьева, В.Б. Колмановского, И.Я. Каца, Д.Г. Кореневского, Г.Н. Мильштейна, А. А. Мартынюка, А.И. Маликова, В.Р. Носова, П.В. Пакшина, Н.А. Пакшиной, Л.Б. Ряшко и др.
В работах И.Я. Каца, П.В. Пакшина, Н.А. Пакшиной, А.И. Маликова рас-смотрены проблемы устойчивости систем со случайной структурой, в том числе и при предположении, что в случайные моменты скачкообразного изменения параметров системы фазовый вектор её состояния также может изменяться скачком. В работах этих авторов получены необходимые и достаточные условия вероятностной устойчивости, разработаны алгоритмы и методы исследования робастной устойчивости, изучены задачи управления и стабилизации стохастических систем со скачками в предположении, что условия скачка фазового вектора описываются неслучайными функциями.
Однако представляется естественной ситуация, когда в случайные моменты времени за счёт перехода системы из одного состояния в другое фазовый вектор изменяется скачком случайным образом. Скажем, если в механических системах изменение структуры связано со случайным скачкообразным изменением массы или геометрии системы, то корректная постановка задачи требует задания новых начальных условий, поскольку фазовый вектор оказался разрывным. Подобные проблемы возникают в виброударных, экономических и других сложных системах, связанных с частичным отказом элементов. В данной работе рассматриваются вопросы устойчивости систем случайной структуры при условии, что в момент смены структурного состояния скачком изменяется фазовый вектор, причём начальные условия для продолжения процесса являются случайными и зависят как от структурного состояния системы, так и от случайной величины с известными характеристиками распределения. Исследование устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, базируется на методах, использованных в монографии И.Я. Каца «Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазового вектора.
Целью работы является исследование асимптотической устойчивости и устойчивости в среднем квадратичном линейных и нелинейных систем со случайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использованы теория вероятностей, теория случайных процессов, линейная алгебра, математический и функциональный анализ, методы теории устойчивости по Ляпунову и теории стохастической устойчивости. Для моделирования динамики процессов использован пакет программ Mat Lab.
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:
• Для линейной стационарной системы со случайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора построена детерминированная система дифференциальных уравнений для моментов второго порядка. Устойчивость полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений влечет устойчивость исходной стохастической системы со случайными скачками фазового вектора. Для одномерной системы со случайными скачками фазового вектора получены условия для параметров случайного скачка, при выполнении которых неустойчивая стохастическая система без скачков становится устойчивой при их появлении.
• Получены выражения усреднённой производной в силу системы со случайной структурой со скачками для двух основных типов марковских процессов. На основе этих результатов проведено исследование устойчивости нелинейных стохастических систем со случайными скачками фазового вектора.
• Методом первого приближения получены достаточные условия асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном нелинейной стохастической системы со случайными скачками.
• В качестве системы первого приближения рассмотрена система со случайной структурой, полученная «замораживанием» коэффициентов. Для этого случая получены достаточные условия, налагаемые на вероятностные характеристики марковского процесса, а также на параметры нелинейной системы и параметры скачка, при которых нелинейная система со скачками экспоненциально устойчива в среднем квадратичном.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие теории устойчивости систем со случайной структурой. Практически результаты могут быть использованы при моделировании сложных динамических систем с отказами механизмов и других нарушениях. Применение результатов работы позволит стабилизировать работу динамических систем со случайными сбоями, поскольку во многих случаях случайным изменением начальных условий фазового вектора можно неустойчивую систему со случайной структурой привести в устойчивое состояние.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на открытых научных семинарах кафедры «Кибернетика» Московского государственного института электроники и математики под руководством проф. В.Н. Афанасьева; кафедры «Теоретическая механика» УрГУ под руководством проф. Ю.Ф. Долгого; кафедры «Высшая математика» УрГУПС под руководством проф. И.Я. Каца и доц. Г.А. Тимофеевой.
Основные результаты диссертации докладывались на 7-ом и 8-ом международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2002 г., 2004 г.); на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (г. Челябинск, февраль 2002 г.); на 2-ом международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (г. Москва, 2002 г.); на международной научно-технической конференции "Кибернетика и технологии 21 века" (г. Воронеж, 2002 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту-2000» (УрГУПС, Екатеринбург, 2000 г.); на научно-технической конференции «Молодые учёные - транспорту» (Ур¬ГУПС, Екатеринбург, 2001 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (УрГУПС, Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (УрГУ, г. Екатеринбург, февраль 2004 г.); на 35-ой региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г. Екатеринбург, 2004 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-13].
Структура и объём диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 84 названия. Диссертационная работа занимает 112 машинописных страниц
Одним из основных условий физической реализуемости эволюционного процесса является его устойчивость. Основы теории устойчивости и управления систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, заложены Н.Н. Красовским, И.Я. Кацом, Р.З. Хасьминским и Э.А. Лидским в начале 60-х годов 20 века. Круг исследования стохастических систем со структурными изменениями значительно расширяется в работах В.Н Афанасьева, В.Б. Колмановского, И.Я. Каца, Д.Г. Кореневского, Г.Н. Мильштейна, А. А. Мартынюка, А.И. Маликова, В.Р. Носова, П.В. Пакшина, Н.А. Пакшиной, Л.Б. Ряшко и др.
В работах И.Я. Каца, П.В. Пакшина, Н.А. Пакшиной, А.И. Маликова рас-смотрены проблемы устойчивости систем со случайной структурой, в том числе и при предположении, что в случайные моменты скачкообразного изменения параметров системы фазовый вектор её состояния также может изменяться скачком. В работах этих авторов получены необходимые и достаточные условия вероятностной устойчивости, разработаны алгоритмы и методы исследования робастной устойчивости, изучены задачи управления и стабилизации стохастических систем со скачками в предположении, что условия скачка фазового вектора описываются неслучайными функциями.
Однако представляется естественной ситуация, когда в случайные моменты времени за счёт перехода системы из одного состояния в другое фазовый вектор изменяется скачком случайным образом. Скажем, если в механических системах изменение структуры связано со случайным скачкообразным изменением массы или геометрии системы, то корректная постановка задачи требует задания новых начальных условий, поскольку фазовый вектор оказался разрывным. Подобные проблемы возникают в виброударных, экономических и других сложных системах, связанных с частичным отказом элементов. В данной работе рассматриваются вопросы устойчивости систем случайной структуры при условии, что в момент смены структурного состояния скачком изменяется фазовый вектор, причём начальные условия для продолжения процесса являются случайными и зависят как от структурного состояния системы, так и от случайной величины с известными характеристиками распределения. Исследование устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, базируется на методах, использованных в монографии И.Я. Каца «Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазового вектора.
Целью работы является исследование асимптотической устойчивости и устойчивости в среднем квадратичном линейных и нелинейных систем со случайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использованы теория вероятностей, теория случайных процессов, линейная алгебра, математический и функциональный анализ, методы теории устойчивости по Ляпунову и теории стохастической устойчивости. Для моделирования динамики процессов использован пакет программ Mat Lab.
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:
• Для линейной стационарной системы со случайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора построена детерминированная система дифференциальных уравнений для моментов второго порядка. Устойчивость полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений влечет устойчивость исходной стохастической системы со случайными скачками фазового вектора. Для одномерной системы со случайными скачками фазового вектора получены условия для параметров случайного скачка, при выполнении которых неустойчивая стохастическая система без скачков становится устойчивой при их появлении.
• Получены выражения усреднённой производной в силу системы со случайной структурой со скачками для двух основных типов марковских процессов. На основе этих результатов проведено исследование устойчивости нелинейных стохастических систем со случайными скачками фазового вектора.
• Методом первого приближения получены достаточные условия асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном нелинейной стохастической системы со случайными скачками.
• В качестве системы первого приближения рассмотрена система со случайной структурой, полученная «замораживанием» коэффициентов. Для этого случая получены достаточные условия, налагаемые на вероятностные характеристики марковского процесса, а также на параметры нелинейной системы и параметры скачка, при которых нелинейная система со скачками экспоненциально устойчива в среднем квадратичном.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие теории устойчивости систем со случайной структурой. Практически результаты могут быть использованы при моделировании сложных динамических систем с отказами механизмов и других нарушениях. Применение результатов работы позволит стабилизировать работу динамических систем со случайными сбоями, поскольку во многих случаях случайным изменением начальных условий фазового вектора можно неустойчивую систему со случайной структурой привести в устойчивое состояние.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на открытых научных семинарах кафедры «Кибернетика» Московского государственного института электроники и математики под руководством проф. В.Н. Афанасьева; кафедры «Теоретическая механика» УрГУ под руководством проф. Ю.Ф. Долгого; кафедры «Высшая математика» УрГУПС под руководством проф. И.Я. Каца и доц. Г.А. Тимофеевой.
Основные результаты диссертации докладывались на 7-ом и 8-ом международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2002 г., 2004 г.); на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (г. Челябинск, февраль 2002 г.); на 2-ом международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (г. Москва, 2002 г.); на международной научно-технической конференции "Кибернетика и технологии 21 века" (г. Воронеж, 2002 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту-2000» (УрГУПС, Екатеринбург, 2000 г.); на научно-технической конференции «Молодые учёные - транспорту» (Ур¬ГУПС, Екатеринбург, 2001 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (УрГУПС, Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (УрГУ, г. Екатеринбург, февраль 2004 г.); на 35-ой региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г. Екатеринбург, 2004 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-13].
Структура и объём диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 84 названия. Диссертационная работа занимает 112 машинописных страниц