ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Купить

Актуальность темы. Во многих динамических моделях окружающей действительности будущее развитие процессов зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи дифференциальных уравнений с запаздываниями различных видов, называемыми также уравнениями с последействием или функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ).
Исследования качественных свойств систем с последействием в настоящее время интенсивно проводится в различных направлениях, одним из которых является перенос результатов теории оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с запаздыванием, в том числе и в развитие теории оптимального управления системами с запаздываниями, внесли Н.В. Азбелев, А.В. Арутюнов, Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, В.Б. Колмановский, Н.Н. Красовский, А.В. Кряжимский, А.Б. Куржанский, Г.И. Марчук, М.Д. Марданов, А.Д. Мышкис, С.Б. Норкин, В.Р. Носов, Ю.С. Осипов, Л.С. Понтрягин, Ю.М. Репин, Т.А. Тадумадае, В.Е. Третьяков, Г.Л. Харатишвили, С.Н. Шиманов, Л.Е. Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, Н.Т. Banks, R. Bellman, K.L. Cooke, C. Corduheanu, R.D. Driver, A. Halanay, J.K. Hale, V. Lakshmikatham, V. Volterra и многие другие математики. Полученные при этом результаты находят значительные приложения в моделировании процессов автоматического регулирования, управления и устойчивости движений, механики, различных технологических процессов, биологии, медицины, химии, экономики и в других отраслях знаний. В настоящее время в качественной теории дифференциальных уравнений с запаздыванием и в теории оптимального управления системами с запаздыванием получены фундаментальные результаты, что позволяет сделать вывод о сформировавшемся разделе научных исследований.
Значительно меньше развита теория оптимального управления системами с запаздываниями в управляющих параметрах. При изучении такого рода систем, кроме линейного случая, основное внимание в исследованиях уделялось вопросам получения необходимых условий оптимальности управления.
В данной диссертации для систем с запаздыванием в управлении исследуются:
1) вопросы существования оптимального управления в классе обобщенных управлений-мер;
2) вопросы позиционного управления системами в условиях конфликта или неопределенности в классах обобщенных и обычных управлений;
3) вопросы выбора предыстории оптимального управления до начала процесса управления;
4) вопросы восстановления управления по информации о фазовых ко-ординатах.
Обобщенные управления трактуются с помощью подхода, предложенного для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в. монографиях однако наличие запаздывания в управлении потребовало внести значительные изменения в понятие управлений-мер. Этот подход позволяет, во-первых, получать теоремы существования оптимального управления без дополнительных условий типа выпуклости правой части уравнения, во-вторых, в задаче с фазовыми ограничениями улучшать результат в так называемых анормальных ситуациях, в-третьих, упрощать получение необходимых условий оптимальности в силу выпуклости множества обобщенных управлений.
При изучении задач позиционного управления автор. использовал ставшую классической схему экстремального прицеливания Н.Н. Красовского и А.И. Субботина, изложенную для ОДУ в монографиях, и развитую для уравнений с запаздыванием в координатах в работах Ю.С. Осипова. Для систем с запаздыванием в управлении подобные задачи в классе обычных управлений были изучены ранее в работах. Расширение класса управлений позволяет существенно упростить разрешающие задачи конструкции и замкнуть множество позиций, из которых разрешима поставленная задача сближения.
В дифференциальных управляемых системах качество процесса зависит не только от управления, выбираемого в каждый момент (и, возможно, помехи), но и от начального состояния системы. В случае, если система имеет эффект запаздывания в управляющих параметрах, то состояние системы содержит в каждый момент наряду с фазовым вектором системы также функцию-предысторию управления, сложившуюся к этому моменту. Встает задача о том, чтобы выбирать начальную предысторию управления так, чтобы улучшить качество процесса. Эта задача не является позиционной, и для неё в диссертации разработаны специальные алгоритмы решения.
Для решения задачи о позиционном восстановлении неизвестного управления по поступающей информации о фазовых состояниях системы использована модификация метода динамического .моделирования Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского.
Следует отметить, что исследование систем с последействием сопряжено со значительными трудностями, вследствие которых, например, точное аналитическое решение задач удается получить лишь в исключительных случаях. При этом наряду с обычными для дифференциальных уравнений трудностями рассмотрение систем с последействием сопряжено и с рядом специфических проблем, обусловленных прежде всего бесконечномерность фазового пространства этих систем. В связи с этим особенно актуальной является проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительными средствами. Недостаточная разработанность современного программного обеспечения в этой области является значительным препятствием для широкого применения запаздывания в прикладных моделях.
Среди многообразия исследований в области численных методов решения ФДУ отметим следующие направления.
1. Численные схемы, основанные на методе шагов. Если ФДУ имеет постоянное запаздывание т > 0, то при подстановке известной начальной функции вместо х(< — т) на отрезке времени [¡о, ¿о + т] получаем ОДУ, которое можно решить каким-либо методом. При этом величина запаздывания т всегда должна быть кратна шагу численного метода. Затем, используя полученную функцию в качестве начальной, можно получить решение на [¿о + г, ¿о 4- 2 г] и т.д. Достоинство метода - предельная простота. Однако, метод шагов, как правило, не применим к другим типам ФДУ, например, с переменным запаздыванием. Кроме того, этот метод не применим для использования процедур с автоматическим выбором шага, без которых не обходятся современные пакеты прикладных программ.
2. Большое число работ посвящено численным методам, использующим специфик) конкретного типа ФДУ. см. обзоры. Особенно много исследований для уравнений с постоянным или переменным сосредоточенным запаздыванием и для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. На эти типы уравнений перенесены практически все известные для обыкновенных дифференциальных уравнений методы, однако использование их в пакетах общего назначения затруднительно, в силу того, что в методах, как правило, используется специфика уравнения.
3. Идея непрерывных методов состоит в том, что численная модель задает не только значение в узлах, но и во всех промежуточных точках. Эти методы обладают большой степенью общности по отношению к различным типам ФДУ. Главный недостаток при этом - гораздо больший объем вычислений. Большинство эффективных методов решения ОДУ (в том числе и применяемых в различных пакетах прикладных программ) не являются непрерывными.
4. Многие типы ФДУ можно свести к интегральным уравнениям и затем применять известные методы решения интегральных уравнений. В отличие от ОДУ интегральные уравнения решаются непозиционными методами, т.е. в позиционных методах в момент времени tможно определить часть траектории до этого момента, а в интегральных уравнениях решение определяется целиком. Этот факт является препятствием для использования методов в задачах позиционного управления системами ФДУ.
5. Системы с запаздыванием можно приближенно заменить системой ОДУ большой размерности. Этот метод, основанный на идеях, применяется в задачах управления, но только для задач с постоянным запаздыванием небольшой размерности, и дает небольшую точность.
6. Функциональный подход, столь эффективный в теоретическом плане, в плане численных методов не дает эффективных алгоритмов, т.к. возникает проблема счета производных функционала правой части системы.
Предлагаемый в диссертации подход к конструированию численных методов основан на следующих основных идеях:
а) разделении конечномерной и бесконечномерной составляющих в фазовой структуре ФДУ, построении по конечномерной составляющей полных аналогов известных для ОДУ дискретных алгоритмов;
б) интерполяции с заданными свойствами - введении промежуточного элемента между изначально непрерывной (бесконечномерной) системой ФДУ и априори дискретной численной моделью, в качестве интерполяционных процедур предложена интерполяция вырожденными сплайнами и экстраполяция продолжением;
в) использовании специальной техники, позволяющей получать конструктивные формулы тейлоровского разложения функционалов правой части системы ФДУ (эта техника названа i-гладким анализом 10).
Такой подход позволяет строить численные методы, являющиеся полными аналогами известных для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) методов и на их основе создать программное обеспечение для решения широкого класса задач моделирования систем с запаздыванием, в том числе и для решения задач управления такими системами.
Кроме того, в диссертации предпринята попытка объединить многие известные численные методы решения ФДУ и ОДУ в одну общую схему, дав необходимые и достаточные условия порядка сходимости. Наличие такой схемы позволяет с единой позиции оценивать достоинства и недостатки многоэтапных и многошаговых методов, разрушать барьеры, связанные с повышенной точностью, изучать вопросы устойчивости и асимптотического представления глобальной погрешности. Для ОДУ такая схема была предложена в работе п.
Цель работы. Цель работы состоит в исследовании существования и разработке алгоритмов построения оптимального управления системами с эффектом последействия в управляющих параметрах. При этом, для обеспечения замыкания управление (в том числе и в позиционных задачах) ищется в классе обобщенных управлений-мер. Кроме того, целью работы было решение задач о выборе предыстории оптимального управления до начала процесса управления и о восстановления управления по информации о фазовых координатах.
Следующей и основной целью является разработка и изучение свойств численных методов для ФДУ. Необходимо было получить условия порядка сходимости методов в зависимости от порядка локальной аппроксимации, от порядка интерполяции дискретной предыстории модели и от порядка ее экстраполяции. Теоретической задачей являлось создание аксиоматической схемы численных методы решения ФДУ, в рамках которой возможно дать необходимые и достаточные условия порядка сходимости. Также нужно было разработать алгоритмы с автоматическим выбором шага и протестировать построенные методы на модельных и тестовых примерах.
Методы исследования. Методы исследования опираются на концепции и подходы теории позиционного управления и теории численных методов решения дифференциальных уравнений. Систематически используются понятия и методы теории функционально-дифференциальных уравнений, математической теории оптимальных процессов, теории расширения экстремальных задач, функционального анализа и численного анализа.
Научная новизна. Все существенные результаты работы являются новыми. Приведем основные из них.
1. Для систем с функциональным последействием в фазовых координатах и управляющих параметрах предложен способ расширения класса управлений так, что решение задачи управления в этом классе заведомо существует и аппроксимируется минимизирующей последовательностью обычных управлений. Для систем с несколькими постоянными сосредоточенными запаздываниями в управлении и с интегральным последействием проведено эффективное описание класса обобщенных управлений.
2. Для конфликтно-управляемой системы с запаздыванием в управлении проведена формализация задач сближения и уклонения в классе обобщенных управлений. Приведены разрешающие конструкции, доказана теорема об альтернативе. Приведены условия, при которых позиционные задачи в классах обобщенных управлений и обычных управлений эквивалентны.
3. Разработаны конструкции метода программных итераций для позиционных задач управления системами с эффектом последействия в управлении.
4. Изучена задача о выборе начальной предыстории управления. Приведены условия оптимальности и разработаны соответствующие численные методы.
5. Для систем с запаздыванием в управлении исследована задача о позиционном восстановлении неизвестного управления по поступающей информации о фазовых состояниях системы.
6. Для широкого класса дифференциальных уравнений с запаздыванием сконструированы одношаговые численные методы решения, основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной фазовой составляющей. Получена теорема о порядке сходимости методов. Сконструированы другие численные методы, основанные на методе разделения фазовой переменной, являющиеся полными аналогами соответствующих методов для обыкновенных дифференциальных уравнений.
7. Изучены способы интерполяции вырожденными сплайнами и экстраполяции продолжением дискретной предыстории модели в случаях постоянного и переменного шага.
8. Сконструирована общая линейная схема, объединяющая многие известные численные методы решения ФДУ и ОДУ. В рамках этой схемы приведены достаточные и необходимые и достаточные условия, обеспечивающие сходимость с данным порядком.
9. Для численных методов решения ФДУ изучено асимптотическое поведение глобальной погрешности, получено уравнение для главного члена в разложении по степеням шага дискретизации.
10. Решена задача о стабилизации системы с запаздыванием в управлении методом удаляющегося горизонта.
Теоретическая и практическая ценность. Изложенные в диссертации методы и установленные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в оптимальном управлении системами с эффектом последействия в фазовых координатах п в управляющих параметрах. Результаты диссертации могут быть применены для дальнейшей разработки численных алгоритмов решения ФДУ и исследования их свойств. С помощью сконструированных в работе алгоритмов и и созданного на их основе программного обеспечения (пакет программ Time-Delay System Toolbox) могут быть численно изучены многие задачи моделирования реальных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием, а также могут быть решены задачи управления и стабилизации таких объектов. Материалы диссертации могут быть ис-пользованы и уже используются в учебном процессе: в Уральском государственном университете читается специальный курс, учениками автора написаны и защищены несколько курсовых, дипломных работ, кандидатская диссертация, в которых существенно используются результаты и методика данной диссертационной работы.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 3-ей Уральской региональной конференции ” Функционально-дифференциальные уравнения и их приложение” (Пермь-1988), 7-ой Всесоюзной конференции ’’Управление в механических системах” (Свердловск-1990), международной конференции ’’Electrical Engineering” (Kyungju-1998), международном семинаре IFAC "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации” (Челябинск-1998), Всероссийских конференциях "Алгоритмический анализ некорректных задач” (Екатерибург-1998 и Екатеринбург-2001), международной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения” (Воронеж-2000), на других Российских и международных конференциях, на научных семинарах в Уральском государственного университете, Московском государственном университете и в Институте математики и механики УрО РАН.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1-33]. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 241 наименование. В работе приведено 19 рисунков. Общий объем диссертации 245 страниц.

Купить