Актуальность темы. В самых разнообразных областях современной науки и техники встречаются динамические системы, описываемые системами дифференциальных уравнений с последействием. Такие системы используются в математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией при описании необратимых термодинамических процессов, при учете конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий, в математических моделях биологии, в системах автоматического управления, и, наконец, системами дифференциальных уравнений с последействием описываются некоторые технологические процессы.
На качественное поведение динамической системы влияет наличие последействия в математической модели. Поэтому проблема изучения периодических колебаний в системах дифференциальных уравнений с последействием всегда привлекала к себе большое внимание. Важным свойством периодических движений является свойство устойчивости. В настоящее время достаточно хорошо развита теория устойчивости линейных стационарных дифференциальных уравнений с последействием. Для линейных нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений. На сложность этой проблемы указывают трудности, которые имеют место в теории устойчивости линейных периодических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В нашем случае эта проблема усложняется бесконечномерностью объекта исследования.
В теории устойчивости линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием развиваются несколько направлений. Фундаментальные результаты в теории устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений получены в работах А.М. Зверкина, А. Халаная, Дж. Хейла, С.Н. Шиманова, А. Стокса и В. Хана. Применяемый в работе подход к исследованию устойчивости является развитием первого метода Ляпунова. Центральным понятием в нем является оператор монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием. Так, для асимптотической устойчивости указанных динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для периодических дифференциальных уравнений с последействием.
Цель работы. Развитие бифуркационного метода исследования устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Нахождение эффективных признаков асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функционального анализа, теории функционально-дифференциальных уравнений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании на устойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием основным является понятие оператора монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Задача нахождения собственных чисел оператора монодромии сводится к задаче нахождения собственных чисел краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используются методы теории возмущений самосопряженных и несамосопряженных краевых задач.
Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) исследуемых классов периодических систем с запаздыванием. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Установлена связь между асимптотической устойчивостью систем дифференциальных уравнений с вещественными <о -периодическими коэффициентами и запаздыванием Л2Ах(?) = Н, (?)х(?) + Н2(г)х(/ - щ) и сильной устойчивостью канонических уравнений с гамильтонианами Н1 ± Н2.
2. Получены эффективные признаки асимптотической устойчивости выделенного класса периодических систем дифференциальных уравнений уравнений с запаздыванием.
3. Установлена неустойчивость системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием х(?) + Н(7)х(/ - щ) = 0.
4. Найдены условия устойчивости периодического решения скалярного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием х(/)=-^(х(/-1)).
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать задачи устойчивости для конкретных классов периодических дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Апробация работы. Результаты, составляющие основу диссертации, были доложены на 27 и 28 Молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», VIII Понтрягинских чтениях «Современные методы в теории краевых задач», Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев), V Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления».
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10]. В работах, написанных в соавторстве с научным руководителем, Ю.Ф. Долгому принадлежат постановка задач и общее руководство исследованиями. Теоретическое обоснование научных результатов в указанных работах получено автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения и трех глав, которые содержат восемь параграфов. Общий объем диссертации составляет 106 страниц. В списке литературы приведено 98 наименований.
