Актуальность темы.
Диссертация посвящена задачам оптимального управления дискретными системами, возникающим в различных областях науки и техники. Важным классом задач дискретного управления являются задачи, в которых процесс описывается линейными разностными уравнениями. Изучение задач управления для линейных систем является полезным по следующим причинам: во-первых, многие реальные движения, описываемые нелинейными уравнениями, можно в 1-м приближении описать линейными уравнениями, что облегчает исследование. Во-вторых, для линейных систем известны аналитические выражения, определяющие движения соответствующих объектов. При этом линейность уравнений по координатам Xiи по компонентам управления Ujпереходит в линейную зависимость движений от начальных условий, что позволяет привлечь к исследованию аппарат линейной алгебры и функционального анализа. Кроме того, в общем, нелинейном случае для решения задач управления часто применяется метод последовательной линеаризации, при помощи которого решение нелинейной задачи сводится к последовательности решений линейных задач.
Многочисленные публикации, посвящённые применению математического программирования в оптимальном управлении, рассматривают и линейные дискретные системы1,2. К настоящему времени теоретические аспекты вопросов управления и управляемости для дискретных линейных систем разработаны с достаточной полнотой, однако в конкретных вычислительных задачах практическое применение теории наталкивается на ряд трудностей. Так, если система (изначально вполне управляемая) подвержена влиянию случайных возмущений (например, присутствуют помехи в каналах обратной связи), то она может в некоторый момент времени уже не обладать свойством полной управляемости, и задача о приведении её оптимальным управлением в нужное состояние может оказаться неразрешимой. В этом случае естественно попытаться построить управление, приводящее линейную систему столь близко к заданному конечному состоянию, сколь это возможно в условиях данной задачи.
Помогает этого добиться применение понятия псевдообратной матрицы 3,4, позволяющее получить обобщение классических решений, наглядно представить структуру полученных результатов, уяснить смысл часто возникающей некорректности решения и увидеть пути регуляризации таких решений. Настоящая диссертация продолжает исследования в этом направлении.
Цель работы.
В диссертации рассмотрены несколько связанных между собой задач оптимального управления линейными дискретными системами. Были поставлены следующие цели:
1) Построить оптимальное программное управление, приводящее заданную линейную дискретную систему из указанного начального состояния в указанное конечное при условии минимума квадратичного по управлению функционала.
2) Обосновать предложенный в терминах псевдообратной матрицы способ построения синтеза оптимального управления для линейной дискретной системы. Изучить свойства оптимального синтеза, в частности, исследовать его устойчивость к помехам в каналах обратной связи.
3) Рассмотреть предыдущие вопросы при наличии запаздывания в каналах обратной связи.
4) Найти оптимальное по быстродействию программное управление при квадратичном ограничении на ресурсы управления. Построить и обосновать оптимальный синтез в задаче о быстродействии; доказать, что при определённых условиях он обладает свойством устойчивости.
5) Используя полученные результаты, найти решение задачи об управлении квазилинейной дискретной системой с конечным по величине квадратичным функционалом качества. Обосновать сходимость предложенной итерационной процедуры построения допустимого управления как предела последовательности решений линейных задач.
Методы исследования.
Применяются понятия и методы линейной алгебры, теории ’ФУРАСОВ В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов устойчивости и управления, функционального анализа, а также численные методы.
Научная новизна.
С использованием псевдообратной матрицы разработан новый конструктивный метод анализа и синтеза управлений для линейных и квазилинейных дискретных систем при квадратичном по управлению критерии качества.
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты работы имеют теоретическое и прикладное значение. Развитые в диссертации методы позволяют осуществлять синтез оптимального управления для линейных дискретных систем, исследовать его свойства, а также изучать вопросы управления квазилинейными дискретными системами.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001), на 30-й и 31-й Региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 1999, 2000).
Публикации.
Основные результаты диссертации представлены в трёх журнальных публикациях автора; по теме диссертации опубликовано также семь тезисов докладов на конференциях. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы, включающего 52 наименования. Общий объём диссертации - 95 стр.
1) С использованием псевдообратной матрицы найдено оптимальное программное управление, а также построен и обоснован оптимальный синтез для линейной дискретной системы при квадратичном по управлению критерии качества. Исследованы свойства оптимального синтеза, доказана его устойчивость при условии, что возмущения в каналах обратной связи достаточно малы. Обоснован оптимальный синтез и доказана его устойчивость при наличии запаздывания в каналах обратной связи.
2) Для линейной дискретной системы найдено решение задачи о быстродействии при квадратичном по управлению ограничении: построены оптимальное по быстродействию программное управление, а также оптимальное управление по принципу обратной связи. Изучены свойства времени быстродействия, дана геометрическая трактовка решения задачи о быстродействии. Наконец, доказана устойчивость построенного оптимального синтеза к помехам в каналах обратной связи в случае, если оптимальное время окончания процесса при наличии помех совпадает на каждом шаге с временем окончания без помех, а также показана существенность последнего условия.
3) При условии малости постоянной Липшица обосновано построение допустимого управления квазилинейной дискретной системой как предела последовательности решений линейных задач оптимального управления.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
