Актуальность темы. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались ещё в восемнадцатом веке.
Как практические, так и теоретические потребности приводили исследователей к необходимости нахождения таких решений, которые удовлетворяли бы ещё тем или иным дополнительным условиям. Эти условия известны теперь как начальные и краевые условия, а задачи, связанные с ними - как задача Коши, задача Дирихле и др.
В работах Адамара начала двадцатого века было введено понятие корректности (и некорректности) постановки задачи Коши (распространённое впоследствии и на другие краевые задачи) для уравнений с частными производными. Как оказалось, для каждого типа уравнений существуют свои корректно поставленные задачи.
Так для классического уравнения Лапласа в вещественном пространстве И'1 постановка задачи Дирихле является корректной.
Этого нельзя сказать о задаче Коши. В частности, как показывает известный пример Адамара, решение задачи Коши для уравнения Лапласа единственно, но неустойчиво.
Для того, чтобы постановка задачи Коши была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений уравнения Лапласа. Таким сужением может служить класс равномерно ограниченных решений. При таком предположении оценки, характеризующие устойчивость решения задачи Коши, впервые были получены М.М. Лаврентьевым для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей. Аналогичные оценки были получены С.Н. Мергеляном для функций внутри сферы. На случай произвольного эллиптического уравнения решение вопроса об устойчивости пространственной задачи Коши было распространено Е.М. Ландисом.
В 30-е гг. двадцатого века в работах ряда математиков появляются простейшие дифференциальные уравнения с комплексными переменными. Это связано, прежде всего, с началом широкого применения в изучении вещественных дифференциальных уравнений методов теории функций комплексного переменного.
Особо следует отметить труды И.Н. Векуа, в которых применение таких методов привело к созданию аналитической теории эллиптических уравнений и систем с двумя независимыми переменными.
Весьма плодотворным применение аппарата теории функций одного и многих комплексных переменных оказалось и в более сложном случае многомерных уравнений. Глубокие результаты, полученные здесь, связаны, прежде всего, с именами А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, З.И. Халилова, а также С. Бергмана, Л. Берса, П. Гарабедяна, Г. Леви и др.
В связи с этим возникает самостоятельный интерес к собственно комплексным дифференциальным уравнениям.
Первоначальной работой здесь является, по-видимому, статья А.И. Янушаускаса [1], в которой им рассматривалось уравнение Лапласа с тремя комплексными переменными. Для решения этого уравнения получено интегральное представление через голоморфные функции двух комплексных переменных. При этом оказалось, что, в отличие от вещественного случая, задача Коши в случае комплексного уравнения Лапласа является корректной.
Вполне естественным развитием теории комплексных дифференциальных уравнений представляется рассмотрение задачи Коши для более общих эллиптических уравнений (как в отношении их порядка, так и в отношении количества переменных). Основы аналитической теории таких уравнений по состоянию на 1979 год были систематизированы А.И. Янушаускасом в его монографии [2].
В настоящее время эта теория, продолжая интенсивно развиваться, всё ещё остаётся весьма далёкой от завершающих результатов, что и диктует необходимость дальнейших исследований в этом направлении.
Цель работы. Главная цель диссертации заключается в получении интегральных представлений решений задачи Коши для ряда важнейших классов комплексных дифференциальных уравнений, порождаемых оператором Лапласа.
Методика исследования. Широко используются методы теории функций многих комплексных переменных применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными.
Научная новизна. В работе получены интегральные представления решений задачи Коши для следующих комплексных дифференциальных уравнений:
• уравнение Лапласа,
• уравнение Пуассона,
• уравнение, порождаемое линейной комбинацией степеней оператора Лапласа,
• полигармоническое уравнение,
• полиметагармоническое уравнение.
С помощью интегральных представлений изучены аналитические свойства решений (область голоморфности, возможность аналитического продолжения, распределение особых точек и др.).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в теоретических и прикладных задачах, где находят приложения аналитические представления решений многомерных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном семинаре по аналитической теории уравнений с частными производными (Уфа, 1984 г.), на областной межвузовской конференции молодых учёных и специалистов (Тюмень, 1985 г.), на семинарах по теории
функций в Донецком государственном университете (1990, 1995 гг.), на семинарах в Институте математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2001г.), Институте математики СО РАН (Новосибирск, 2002 г.) и Башкирском государственном университете (Уфа, 2002 г.). Подробно и полно результаты диссертации излагались на семинаре по аналитической теории уравнений с частными производными в Институте математики СО РАН (рук. А.И. Янушаускас), а также на семинаре по теории функций в Тюменском государственном университете (рук. В.И. Кругликов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, списком которых завершается автореферат.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Каждая глава имеет свою нумерацию параграфов, некоторые из которых разбиты на пункты. Нумерация утверждений и формул проводится посредством двух чисел, первое из которых означает номер главы, а второе - номер одноименного утверждения или формулы. Так, например, название «лемма 3.1» означает первую (по порядку изложения) лемму в третьей главе, а номер формулы (2.14) означает четырнадцатую из формул, выделенных в тексте второй главы. В список литературы включены лишь те публикации, на которые имеется ссылка в тексте. Общий объём диссертации - 65 страниц, библиография - 48 наименований
