Актуальность темы.
Диссертация посвящена изучению свойств обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби и разработке вычислительных методов, для задач, возникающих в теории управления и дифференциальных играх. Исследования проводятся в рамках теории минимаксных решений, которая была создана А. И. Субботиным и продолжает развиваться в научной школе Н. Н. Красовского по оптимальному управлению.
Развитие теории обобщенных решений тесно связано с такими на-правлениями, как дифференциальные игры, оптимальное управление, негладкий и многозначный анализ.
Теория дифференциальных игр активно развивается с начала 60-х годов. Это развитие связано с именами отечественных и зарубежных математиков Н. Н. Красовского, Л. С. Понтрягина, Е. Ф. Мищенко, А. И. Субботина, Б. Н. Пшеничного, А. Б. Куржанского, Ю. С. Осипова, Р. Айзекса, В. Флеминга и других.
Кратко перечислим основные результаты, к которым примыкает диссертационная работа.
Н. Н. Красовским и его сотрудниками была создана концепция позиционных дифференциальных игр [4, 6, 18] и исследовано основополагающее понятие стабильности. В основе этой теории лежит принцип экстремального прицеливания на стабильные мосты. Для широкого круга дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе [5, 6]. Эта теория объеденила в себе подходы, направленные на решение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования, так и проблемы вычисления решений в дифференциальных играх. Так для решения регулярных задач теории позиционных дифференциальных игр были разработаны методы детерминированных и стохастических программных конструкций [7, 8,18]. Было проведено численное моделирование различных динамических систем [2, 20].
Теория дифференциальных игр тесно связана с теорией обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка. Так, известно, что функция гены дифференциальной игры, будучи негладкой, в точках дифференцируемости удовлетворяет уравнению с частными производным ! первого порядка типа Гамильтона- Якоби. Задачи, которые приводят к негладким решениям уравнений с частными производными первою порядка рассматривались в 50-70-е годы Н. С. Бахваловым, С. К. Годуновым, О. А. Ладыженской, О. А. Олейник, А. А. Самарским, А.Н. Тихоновым, П. Лаксом, Е. Хопфом, У. Флемингом и другими математиками. Среди этих исследований особо следует упомянуть результаты С. Н. Кружкова [9], полученные для уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом.
В начале 80-х годов в работах М. Вж. Крэндала, П.-Л. Лионса и Л. С. Эванса [23, 24] был предложен подход к определению негладких решений краевых задач для уравнения Гамильтона-Якоби общего вида. Понятие решения было введено путем замены уравнения парой неравенств для субградиентов и суперградиентов. В основе доказательства теоремы существования обобщенного решения лежит метод исчезающей вязкости. Поэтому такие решения получили название вязкостных.
Исследования уравнений Гамильтона-Якоби-Веллмана на основе идемпотентного анализа были начаты и развиваются в последние годы В. П. Масловым и его сотрудниками [10, И].
В данной диссертации развивается трухой подход к определению обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка. Исследования проводятся в рамках теории минимаксных решений. Предлагаемые конструкции могут рассматриваться как обобщение классического метода характеристик.
Понятие минимаксных решений было введено А. И. Субботиным в конце 70-х годов в работах [12, 16]. Термин ’’минимаксные решения” и свойство слабой инвариантности, лежащее в основе этого понятия, происходят из теории управления и теории дифференциальных игр. В начале 70-х Н. Н. Красовский и А.. И. Субботин ввели в рассмотрение и-стабильные и «-стабильные функции, которые мажорируют и минорируют функцию цены дифференциальной игры [6]. Свойства и и «-стабильности могут выражаться различными способами, например, с помощью дифференциальных неравенств для производных по направлению и субдифференциалов, а также с помощью контингентных конусов, называемых также конусами Булигана.
Первые результаты, связанные с заменой уравнений с частными производными первого порядка парой дифференциальных неравенств были получены в 1978 и 1980 годах А. И. Субботиным и Н. Н. Субботиной [12, 16]. Дифференциальные неравенства в определении минимаксных решений применяются для описания свойства стабильности функции цены и выражаются в терминах производных по направлению.
Существенным фактом теории обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка является эквивалентность минимаксных и вязкостных подходов, доказательство которой требовало дополнительных усилий. На первом этапе было установлено совпадение минимаксного и вязкостного решения с функцией цены соответствующей дифференциальной игры [17]. Затем, А.И. Субботиным в работах [13, 27] было получено прямое доказательство эквивалентности определений минимаксных и вязкостных решений, опиравшееся на результат, полученный в работе [1].
В 70-х годах в теории дифференциальных игр для построения функции цены А. Г. Ченцовым в ряде работ был предложен и развит метод программных итераций [18, 21]. Позже А. И. Субботиным и А. Г. Ченцовым этот метод был применен для построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби [19]. Часть результатов данной диссертации является продолжением этих исследований.
Другое направление исследований, представленных в диссертации, связано с теорией разрывных решений. Необходимость рассматривать такие решения возникает при исследовании достаточно широкого круга практических задач. Например, подобная ситуация наблюдается в задачах оптимального быстродействия, где функция оптимального гарантированного результата может быть разрывной. При определенных условиях минимаксное решение краевой задачи типа Дирихле для уравнений с частными производными первого порядка существует и единственно в классе разрывных функций [14, 26].
В работе [15] А. И. Субботиным было предложено понятие многозначного Л/-решения. которое является естественным развитием понятия минимаксного решения. В основе этого понятия лежит свойство слабой инвариантности множества, представляющего М-решение, относительно характеристического дифференциального включения. Эта работа явилась продолжением исследований, опубликованных в [13]—[14]. Буква М в названии решения означает ’’многозначное” и ’’минимаксное”. Введение этого понятия позволяет упростить и унифицировать исследования разрывных решений. Кроме того, понятие М-решений позволяет значительно расширить класс задач, для которых удается определить обобщенные решения уравнений с частными производными первого порядка.
Существенное продвижение в этих исследованиях было в значительной мере обусловлено развитием аппарата и методов негладкого и выпуклого анализа в работах А. Ф. Филиппова, В .И. Благодатских, Б. Н. Пшеничного, В. Ф. Демьянова, Ф. Кларка, Р. Рокафеллара, Ж.-П. Обэна и других.
В теории дифференциальных игр известно, что дифференциальную игру можно аппроксимировать многошаговыми играми. Конструкции, основанные на таких аппроксимациях, использовались в работах В. Флеминга, Н. Н. Красовского, Л. С. Понтрягина, Б. Н. Пшеничного и многих других авторов. Разработки вычислительных алгоритмов наиболее продвинуты в случае, когда функция цены или ее множества Лебега выпуклы. Основной задачей, которую требуется решать в этих алгоритмах является построение выпуклых оболочек функций или множеств. Разработки алгоритмов для упомянутого случая активно ведутся в Екатеринбурге В. С. Пацко и его сотрудниками, в Московском государственном университете на кафедре оптимального управления, а также в г.Долгопрудном в МФТИ Е. С. Половинкиным и его учениками.
В теории дифференциальных игр известны постановки задач ап-проксимации областей достижимости дифференциальной игры с помощью заданного набора базовых множеств. Так, например, в работах Ф. Л. Черноусько [22] и А. В. Куржанского [25] области достижимости аппроксимируются эллипсоидами или параллелепипедами. Подобные задачи аппроксимации решаются либо за счет использования геометрических закономерностей, либо с использованием методов негладкого и выпуклого анализа, в частности, субградиентных методов. Из обширного списка известных работ в этой области особо следует упомянуть исследования Р. Рокафеллара и Б. Н. Пшеничного.
Целью работы является:
1) Исследование многозначных обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби в случае, когда гамильтониан не удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным.
2) Применение М-решений для разрывных уравнений Гамильтона-
Якоби. Разработка метода построения М-решений этих уравнений.
3) Разработка численного мет еда построения функции цены линейной дифференциальной игры.
4) Применение методов выпуклого и негладкого анализа в задаче оптимизации хаусдорфова расстояния между двумя выпуклыми многогранниками.
Общие методы исследования опираются на концепции и результаты теории оптимального управления и дифференциальных игр, конструкции функционального, выпуклого, негладкого и многозначного анализа.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Доказана теорема существования многозначных М-решений задачи Коши для уравнений Гамильтона-Якоби, гамильтониан которого не удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным и исследованы их свойства.
3. Доказана теорема существования .М-решений задачи Коши для разрывных уравнений Гамильтона-Якоби.
4. Обоснована возможность построения М-решения с помощью ите-рационной процедуры.
5. Предложен новый алгоритм построения кусочно-линейной сопряженной функции, который может использоваться, например, при построении функции цены дифференциальной игры.
6. Решена задача оптимизации хаусдорфова расстояния между двумя выпуклыми многогранниками, на основе свойств субградиентов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность работы.
Рассмотрены вопросы существования многозначных М-решений задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби для достаточно широкого класса задач. Предложенные в диссертации идеи и методы доказательств демонстрируют различные подходы к исследованию обобщенных решений. Предлагаемая итерационная процедура может быть положена в основу разработки алгоритмов и программ, реализуемых на ЭВМ и позволяющих получать М-решения.
Изложенный в диссертации метод построения кусочно-линейной сопряженной функции носит конструктивный характер. Все рассмотренные методы решения задачи оптимизации хаусдорфова расстояния между выпуклыми многогранниками теоретически обоснованы и численно реализованы на ЭВМ.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах на кафедре информатики и процессов управления Уральского госуниверситета и в отделе динамических систем института Математики и Механики УрО РАН; на международной конференции ’’Nonlilear analysis and control theory” в Порто (Португалия) в 1999г.; на четвертой Всероссийской научно-технической конференции Информационные технологии и электроника в Екатеринбурге в 1999 г.; а также на ряде региональных школ и конференций.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Нумерация параграфов независимая в каждой главе. Объем работы составляет 109 страниц машинописного текста. Список литературы включает 134 наименования.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
