ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА РАСПОЛОЖЕНИЕ НУЛЕЙ
|
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Список цитированной литературы
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Список цитированной литературы
Актуальность темы. Диссертация посвящена точным неравенствам Бернштейна и обратным им неравенствам Турана в пространстве и паре пространств на единичном круге комплексной плоскости для линейных операторов, и в первую очередь, операторов дифференцирования, во множестве Р,, (б) алгебраических многочленов порядка п> 1, все нули которых принадлежат замкнутому под-множеству б расширенной комплексной плоскости.
Точные неравенства и другие экстремальные задачи для многочленов являются классическим и трудным разделом теории функций. Впервые точные неравенства для многочленов изучали ,1.11. Менделеев, братья А.А. и В.А. Марковы, П.Л. Чебышев, С.Н. Бернштейн. К настоящему времени этой тематике посвящено большое число работ Г. Сеге, С.Н. Бернштейна, А. Зигмунда, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, Г. Харди, В.В. Арестова, Л.В. Тайкова и др. (см. [2],[7] и приведенную там библиографию). Нас интересуют точные неравенства для алгебраических многочленов в пространствах Нр. На множестве алгебраических многочленов Р,, степени не более чем п с комплексными коэффициентами в пространстве Нр, 0 <р < +оо, на единичном круге справедливо неравенство Бернштейна
1Л1р <пРр, Рер„.
Константа п в этом неравенстве точная; неравенство обращается в равенство на многочленах вида сгп, и в случае 0 <р < оо других экстремальных многочленов нет. Это утверждение при р = оо является классическим неравенством С.Н.Бернштейна [5]; в случае 1 <р < оо оно доказано А.Зигмундом [6], в случае 0 <р < 1 - В.В.Арестовым [2]. Кроме оператора дифференцирования неравенства вида (1) исследовались и для других линейных операторов на множестве Рп. Так известно, что при р> 1 и любом р, 0 < р < оо, справедливо точное неравенство Харди [13]
Р(р^Р< рпП, Р&Рп. (2)
Композицией Сеге многочленов = Хд=о Сп1кгк и Р(г) = Хд=о СпРкХк называют многочлен
В случае, когда многочлен Ь имеет все п нулей в круге |^| < 1 или во множестве |^| > 1, константа ||1/||о в этом неравенстве на множестве многочленов Р ё Рп точная [2]. Нули многочленов = пг(г + I)”-1 и = (рг + 1)п при |р| > 1 лежат в единичном круге |^| < 1, поэтому неравенства (1) и (2) являются частным случаем (4).
Одним из интенсивно исследуемых направлений в проблематике экстремальных свойств многочленов являются задачи с ограничения-ми на многочлены, в частности, с ограничением на расположение ну-лей многочленов. Точное неравенство для многочленов с ограничением на расположение нулей впервые было рассмотрено П.Тураном [19] в 1939г. Он доказал, что на множестве многочленов из Рп, имеющих все п нулей в замкнутом единичном круге, справедливо точное неравенство ЦР'Цоо > § ||Р||оо.
Изучение точных неравенств Бернштейна на множестве многочленов с ограничением на расположение их нулей началось с гипотезы П. Эрдеша [16] о том, что в на множестве многочленов, не имеющих нулей в открытом единичном круге, точная константа в неравенстве (1) равна п/2. Эта гипотеза была доказана в 1947г. П.Лаксом [16]. На множестве многочленов, не обращающихся в нуль в открытом единичном круге, т.е. на множестве Рп(б(1)) многочленов, все нули которых лежат во внешности единичного круга 6(1) = {г ё С : |^| > 1}, точная константа неравенства Бернштейна в Нр известна при всех р, 0 <р < оо; она найдена П.Лаксом [16] (р = 2, оо), Н.Де Брюйном [11] (1 <р < оо) в 1947г., К.Рахманом и Г.Шмейсером [18] (0 <р < 1) в 1988г. В аналогичном случае, точную константу в неравенстве (2) получили Н.Анкени, Т.Ривлин [9] в 1955г., Р.Боас, К.Рахман [10] (1 <р < оо) в 1968г., К.Рахман и Г.Шмейсер [18] (0 <р < 1) в 1988г. В более общем неравенстве (4) для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом А, имеющим все п нулей в круге |^| < 1, при всех 0 < р < оо на множестве многочленов Рп(б(1)) точная константа определена В.В.Арестовым [8] в 1991г. На множестве многочленов, не обращающихся в нуль в круге |^| < Л’. Л’ > 1, точную константу в неравенстве Бернштейна (для оператора дифференцирования) при р = оо нашел М.Малик [17] в 1969г.
Наряду с неравенствами Бернштейна многими авторами изучались обратные им неравенства Турана. В настоящий момент полностью исследовано неравенство Турана для оператора дифференцирования в 77х на множестве многочленов, имеющих все нули в круге |^| < Л?, Л? > 0. Точную константу в этом случае определили П.Туран [19] (Л? = 1) в 1939г., М.Малик [17](Л? < 1) в 1969г., Н.Говил [12](Л > 1) в 1973г. В работе В.М.Бадкова [4] 1992г. доказано, что неравенство Турана (7? = 1) справедливо поточечно.
Таким образом, к настоящему времени неравенства Бернштейна изучались либо на всем множестве многочленов Рп степени п> 1, либо на множестве Рп(О) многочленов из Рп, все нули которых лежат во внешности круга б = б (Л) = {г € С : |^| > Я} радиуса Я, а неравенство Турана - на множестве Рп(б) для замкнутого круга б = К (Я) = {г е С : |^| <Я}. Даже для таких множеств б тематика далека от завершения. Она мало изучена для произвольных замкнутых множеств б даже для оператора дифференцирования и тем более для линейных операторов в Рп. В силу сказанного тема исследования данной диссертации является актуальной.
Цель работы. Основной целью работы является изучение неравенств Бернштейна в пространстве ЯЯ и на паре пространств ЯЯ и Ноо (неравенства Бернштейна - Джексона) и неравенства Турана в Н2 для линейных операторов, и в первую очередь, операторов дифференцирования, на множестве Рп(б) алгебраических многочленов порядка не более чем п, п> 1, с комплексными коэффициентами, все нули которых принадлежат замкнутому подмножеству б расширенной комплексной плоскости С. Исследование свойств экстремальных многочленов неравенств. Вычисление точных констант в неравенствах Бернштейна, когда множество б есть дополнение б( Л’) открытого круга радиуса В, и в неравенствах Турана, когда б есть замкнутый круг К (Л) радиуса Я.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.
I. Определены достаточные условия на линейный оператор и замкнутое подмножество б расширенной комплексной плоскости, при выполнении которых экстремальные многочлены неравенств Берн-штейна в пространстве Н2, Бернштейна - Джексона из Н2 в Нж и Турана в 7Т имеют все нули на границе множества б.
II. Для неравенств Бернштейна и Турана в 7Т на множестве многочленов степени п, имеющих все нули на окружности |^| = Л, для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом Т, найдены необходимое и достаточное условие на ! и /? экстремальности многочленов с{гп + фй”), |Д = 1; достаточное условие экстремальности многочленов с(г + (Я)п, |£| = 1; точные константы для любых Ь и Я при п = 2,3,4.
III. Найдена точная константа в неравенстве Бернштейна в Н2 на множестве многочленов, не обращающихся в нуль в круге |^| < Л, Я < 1, для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом Т, имеющем все нули в круге |Д < 1 и нуль в точке г = 0.
IV. Вычислена константа в неравенстве Бернштейна - Джексона из Н2 в Пу на множестве многочленов с нулями во внешности открытого единичного круга для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом, все нули которого принадлежат замкнутому единичному кругу. Найдена наилучшая константа неравенства на множестве многочленов с нулями в замкнутом подмножестве б расширенной комплексной плоскости для оператора дифференцирования и тождественного оператора при больших значениях величины Л(б) = шт{|,г| : г Е б}.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении точных неравенств для многочленов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских математических конференциях, в частности, на всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач" (г.Екатеринбург, 1998г.); на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ"(г.Тула, 1998г.); на международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (г. Екатеринбург, 2000); на всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(г.Екатеринбург, 2001г.); и на международной школе С.Б. Стечкина по теории функций (г. Миасс, 1995-2001гг.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в статьях [20] - [22] автора; выступления автора на конференциях отражены в тезисах докладов [23] - [27].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем диссертации - 69 страниц. Список литературы содержит 30 наименований.
Точные неравенства и другие экстремальные задачи для многочленов являются классическим и трудным разделом теории функций. Впервые точные неравенства для многочленов изучали ,1.11. Менделеев, братья А.А. и В.А. Марковы, П.Л. Чебышев, С.Н. Бернштейн. К настоящему времени этой тематике посвящено большое число работ Г. Сеге, С.Н. Бернштейна, А. Зигмунда, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, Г. Харди, В.В. Арестова, Л.В. Тайкова и др. (см. [2],[7] и приведенную там библиографию). Нас интересуют точные неравенства для алгебраических многочленов в пространствах Нр. На множестве алгебраических многочленов Р,, степени не более чем п с комплексными коэффициентами в пространстве Нр, 0 <р < +оо, на единичном круге справедливо неравенство Бернштейна
1Л1р <пРр, Рер„.
Константа п в этом неравенстве точная; неравенство обращается в равенство на многочленах вида сгп, и в случае 0 <р < оо других экстремальных многочленов нет. Это утверждение при р = оо является классическим неравенством С.Н.Бернштейна [5]; в случае 1 <р < оо оно доказано А.Зигмундом [6], в случае 0 <р < 1 - В.В.Арестовым [2]. Кроме оператора дифференцирования неравенства вида (1) исследовались и для других линейных операторов на множестве Рп. Так известно, что при р> 1 и любом р, 0 < р < оо, справедливо точное неравенство Харди [13]
Р(р^Р< рпП, Р&Рп. (2)
Композицией Сеге многочленов = Хд=о Сп1кгк и Р(г) = Хд=о СпРкХк называют многочлен
В случае, когда многочлен Ь имеет все п нулей в круге |^| < 1 или во множестве |^| > 1, константа ||1/||о в этом неравенстве на множестве многочленов Р ё Рп точная [2]. Нули многочленов = пг(г + I)”-1 и = (рг + 1)п при |р| > 1 лежат в единичном круге |^| < 1, поэтому неравенства (1) и (2) являются частным случаем (4).
Одним из интенсивно исследуемых направлений в проблематике экстремальных свойств многочленов являются задачи с ограничения-ми на многочлены, в частности, с ограничением на расположение ну-лей многочленов. Точное неравенство для многочленов с ограничением на расположение нулей впервые было рассмотрено П.Тураном [19] в 1939г. Он доказал, что на множестве многочленов из Рп, имеющих все п нулей в замкнутом единичном круге, справедливо точное неравенство ЦР'Цоо > § ||Р||оо.
Изучение точных неравенств Бернштейна на множестве многочленов с ограничением на расположение их нулей началось с гипотезы П. Эрдеша [16] о том, что в на множестве многочленов, не имеющих нулей в открытом единичном круге, точная константа в неравенстве (1) равна п/2. Эта гипотеза была доказана в 1947г. П.Лаксом [16]. На множестве многочленов, не обращающихся в нуль в открытом единичном круге, т.е. на множестве Рп(б(1)) многочленов, все нули которых лежат во внешности единичного круга 6(1) = {г ё С : |^| > 1}, точная константа неравенства Бернштейна в Нр известна при всех р, 0 <р < оо; она найдена П.Лаксом [16] (р = 2, оо), Н.Де Брюйном [11] (1 <р < оо) в 1947г., К.Рахманом и Г.Шмейсером [18] (0 <р < 1) в 1988г. В аналогичном случае, точную константу в неравенстве (2) получили Н.Анкени, Т.Ривлин [9] в 1955г., Р.Боас, К.Рахман [10] (1 <р < оо) в 1968г., К.Рахман и Г.Шмейсер [18] (0 <р < 1) в 1988г. В более общем неравенстве (4) для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом А, имеющим все п нулей в круге |^| < 1, при всех 0 < р < оо на множестве многочленов Рп(б(1)) точная константа определена В.В.Арестовым [8] в 1991г. На множестве многочленов, не обращающихся в нуль в круге |^| < Л’. Л’ > 1, точную константу в неравенстве Бернштейна (для оператора дифференцирования) при р = оо нашел М.Малик [17] в 1969г.
Наряду с неравенствами Бернштейна многими авторами изучались обратные им неравенства Турана. В настоящий момент полностью исследовано неравенство Турана для оператора дифференцирования в 77х на множестве многочленов, имеющих все нули в круге |^| < Л?, Л? > 0. Точную константу в этом случае определили П.Туран [19] (Л? = 1) в 1939г., М.Малик [17](Л? < 1) в 1969г., Н.Говил [12](Л > 1) в 1973г. В работе В.М.Бадкова [4] 1992г. доказано, что неравенство Турана (7? = 1) справедливо поточечно.
Таким образом, к настоящему времени неравенства Бернштейна изучались либо на всем множестве многочленов Рп степени п> 1, либо на множестве Рп(О) многочленов из Рп, все нули которых лежат во внешности круга б = б (Л) = {г € С : |^| > Я} радиуса Я, а неравенство Турана - на множестве Рп(б) для замкнутого круга б = К (Я) = {г е С : |^| <Я}. Даже для таких множеств б тематика далека от завершения. Она мало изучена для произвольных замкнутых множеств б даже для оператора дифференцирования и тем более для линейных операторов в Рп. В силу сказанного тема исследования данной диссертации является актуальной.
Цель работы. Основной целью работы является изучение неравенств Бернштейна в пространстве ЯЯ и на паре пространств ЯЯ и Ноо (неравенства Бернштейна - Джексона) и неравенства Турана в Н2 для линейных операторов, и в первую очередь, операторов дифференцирования, на множестве Рп(б) алгебраических многочленов порядка не более чем п, п> 1, с комплексными коэффициентами, все нули которых принадлежат замкнутому подмножеству б расширенной комплексной плоскости С. Исследование свойств экстремальных многочленов неравенств. Вычисление точных констант в неравенствах Бернштейна, когда множество б есть дополнение б( Л’) открытого круга радиуса В, и в неравенствах Турана, когда б есть замкнутый круг К (Л) радиуса Я.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.
I. Определены достаточные условия на линейный оператор и замкнутое подмножество б расширенной комплексной плоскости, при выполнении которых экстремальные многочлены неравенств Берн-штейна в пространстве Н2, Бернштейна - Джексона из Н2 в Нж и Турана в 7Т имеют все нули на границе множества б.
II. Для неравенств Бернштейна и Турана в 7Т на множестве многочленов степени п, имеющих все нули на окружности |^| = Л, для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом Т, найдены необходимое и достаточное условие на ! и /? экстремальности многочленов с{гп + фй”), |Д = 1; достаточное условие экстремальности многочленов с(г + (Я)п, |£| = 1; точные константы для любых Ь и Я при п = 2,3,4.
III. Найдена точная константа в неравенстве Бернштейна в Н2 на множестве многочленов, не обращающихся в нуль в круге |^| < Л, Я < 1, для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом Т, имеющем все нули в круге |Д < 1 и нуль в точке г = 0.
IV. Вычислена константа в неравенстве Бернштейна - Джексона из Н2 в Пу на множестве многочленов с нулями во внешности открытого единичного круга для оператора, определяемого композицией Сеге с многочленом, все нули которого принадлежат замкнутому единичному кругу. Найдена наилучшая константа неравенства на множестве многочленов с нулями в замкнутом подмножестве б расширенной комплексной плоскости для оператора дифференцирования и тождественного оператора при больших значениях величины Л(б) = шт{|,г| : г Е б}.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении точных неравенств для многочленов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских математических конференциях, в частности, на всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач" (г.Екатеринбург, 1998г.); на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ"(г.Тула, 1998г.); на международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (г. Екатеринбург, 2000); на всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(г.Екатеринбург, 2001г.); и на международной школе С.Б. Стечкина по теории функций (г. Миасс, 1995-2001гг.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в статьях [20] - [22] автора; выступления автора на конференциях отражены в тезисах докладов [23] - [27].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем диссертации - 69 страниц. Список литературы содержит 30 наименований.