Актуальность темы. Объектом исследования диссертационной работы является краевая задача вида
+ g(x,u(x}) = р(х),х£и, (0.1)
Виг = 0, (0.2)
где Г2 - ограниченная область в R™ с границей Г класса С^а, 0 <
п л
а < 1,Ьи(х) = - ]С (aij(x)uzi)xi + '£, bj(x)uXi+c(x)u(x}- равномерно
ij=i j=i _
эллиптический дифференциальный оператор на О, с коэффициентами
Oij,bj € (7i)Q(Q), Oij(x) — uji(x), с € Ch,0(fi). Нелинейность д(х,и)
удовлетворяет условию (*):
д : Q х R -> Е - борелева (mod 0), т.е. существует борелева функция
д : £} х Е —> R и измеримое множество I С ft x R, проекция которого
на П имеет меру нуль в Ж", такие, что д = д H a f i x K Z и для почти
всех х 6 Q сечение д(х, •)имеет на К разрывы только первого рода
и д(х,и) £ [ff_(x,u)1g+(x,u)]1 ff_(a;,u) = Uminf^u^^.s), g+(x,u) =
р(ж) - суммируемая на П функция; (0.2) - одно из основных краевых
условий:
и |г= 0, (0.3)
я ™
^— |г= V oij(a;)ua:i cos(n,.x,-) -|r= 0, (0.4)
on
L f— tj=1i
cos(n, Xj) - направляющие косинусы внешней нормали п к границе Г;
ди
—(s) + <7(x)u(z)|r=0, (0.5)
an/,
функция сг G CiiQ.(r) неотрицательная и не равна тождественно нулю
на Г. Сильным решением задачи (0.1)-(0.2) называется функция и £
), q > 1, которая удовлетворяет уравнению (0.1) для почти всех
х GЯ и для нее след Ви(х) на границу Г области fi равен нулю.
Сильное решение задачи (0.1)-(0.2) называется полуправильным.
если для почти всех х 6 П значения и(х) являются точками непрерывности сечения д(х, •)
В диссертации исследуется вопрос о существовании сильных и полуправильных решений в так называемом резонансном случае, когда задача
Ьи = 0 (0.6)
Ви|г=0 (0.7)
имеет ненулевое решение. Предполагается, что для нелинейности д(х, и]
для почти всех х 6 fi верна оценка
g(x,u)
где а е Ь,(П), g > 2n/(n +2).
В случае, когда д(х, и) гладкая, резонансная задача (0.1)-(0.2) изучалась многими авторами, начиная с пионерской работы Ландесмана и Лазера. Нерезонасные эллиптические краевые задачи с разрывными нелинейностями также изучались рядом ученых (Красносельский М.А. и его ученики, К.С. Chang, S. Carl, S. Heikila,B.H. Павленко и другие). Проблема же существования сильных решений резонансной задачи (0.1)-(0.2) в ситуации, когда нелинейность д(х,и) разрыв на по фазовой пременной и мало изучена. В связи с этим разработка общих подходов и методов исследования таких задач актуальна.
Цель работы. Разработка общих подходов и методов исследования задачи (0.1)-(0.2) в резонансном случае. Получение на этой основе новых результатов существования сильных и полуправильных решений таких задач.
Методы исследования. В работе применительно к рассматриваемому классу задач разработан вариационный подход. При получении общих результатов используются также методы регуляризации и теория топологической степени для многозначных компактных полей.
Научная новизна. В работе получены новые общие теоремы о существовании решений уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами, в том числе существование таких решений, которые являются точками непрерывности оператора уравнения. На основе общих результатов доказываются новые теоремы существования сильных и полуправильных решений задачи (0.1)-(0.2).
Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены для исследования известных и новых классов эллиптических резонансных краевых задач с разрывными нелинейностями.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXVI международной научной студенческой конференции в Новосибирске (1998г.), на зимней и весенней Воронежской математической школе (1999 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.).на международном симпозиуме посвященном 150-летию со дня рождения Софьи Ковалевской в Санкт-Петербурге (2000 г.),на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" в Екатеринбурге (2001 г.), на семинаре по дифференциальным уравнениям в Челябинском Государственном университете. Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 10 работ. Список работ приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 107 страниц, включая библиографический список из 77 наименований.
