ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
|
Цель работы. Пусть Un ? - конечномерные банаховы пространства, dimil = dim операторы L. МG £(il; $). Поставим задачу Коши
ц(0) = и0 (1)
для линейного операторного уравнения соболевского типа
Lü = Mu + f, ker¿0{O}. (2)
Если в пространствах il и $ фиксировать некоторые базисы, то операторам Lи М можно поставить в соответствие квадратные матрицы Lи М порядка dimil, а уравнению - вырожденную (т.е. detL = 0) линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Целью диссертации является построение численного алгоритма для решения задачи (1), (2) и разработка экономических приложений системы уравнений (2). Отправными точками послужили теория относительно ^-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических и сильно непрерывных групп операторов, разработанная Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым, и динамическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева ’’затраты-выпуск” с учетом запасов.
Актуальность темы. Как хорошо известно, первые результаты о разрешимости однородного (т.е. f= 0) уравнения (2) были получены Ф.Р. Гантмахером. Основываясь на общей теории пучков матриц pL — М, где Lи М ~ произвольные прямоугольные матрицы одних и тех же размеров, разработанной К. Вейерштрассом и Л. Кронекером, Ф.Р. Гантмахер дал исчерпывающий ответ о решениях однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Именно эти результаты легли в основу работ С.Г. Крейна и его учеников, в которых изучена задача (1) для однородного уравнения
Lú = .Mu, kerZ/{0}(3)
в бесконечномерных банаховых пространствах при условии фредгольмовости оператора (т.е. indL = 0). Независимо от этих результатов М.И. Впшпк предложил свой подход к решению задачи (1), (3). Однако ввиду большой технической сложности методы работ до сих пор не превратились в численные алгоритмы.
С другой стороны, предположим, что национальная экономика некоторой страны состоит из п отраслей, и пусть а,у представляет собой коэффициент затрат, показывающий количество единиц продукции отрасли г, необходимое для производства единицы продукции отрасли Тогда взаимосвязи между валовыми выпусками дд, х?.... .г„ п отраслей экономики и так называемым конечным спросом, включающим в себя потребление и новые инвестиции, удовлетворяют следующей системе
. (П--4)х = у. (4)
Система (4) в экономической литературе получила название ’’система Леонтьева ’’затраты-выпуск””. Для исследования динамики зависимости валового выпуска от конечного спроса В. Леонтьевым была предложена модифицированная система
(П - А)х - Вх = у. (5)
Здесь В - квадратная матрица того же порядка, что и матрица А. Элемент матрицы В представляет собой запас продукции отрасли г, требуемый для производства единицы продукции отрасли Поэтому компоненты вектора Вх описывают скорость прироста всех видов запасов, т.е. скорость накопления или свертывания всех видов капитала в их взаимосвязи с изменениями скоростей выпуска х всех отраслей. Система уравнений (5) была названа ’’системой Леонтьева ’’затраты- выпуск” с учетом запасов” или ’’динамической моделью Леонтьева” в отличие от ’’стационарной модели Леонтьева” (4). Уравнения Леонтьева (4) и (5) стали объектом многих глубоких как теоретических, так и прикладных исследований. В этой области укажем на работы М.Моришимы, Ш. Хошимуры и др.
В свою очередь уравнение (2) является объектом пристального внимания многих математиков. Интересные результаты были получены Н.В.Зубовым и В.Ф. Чистяковым. Ю.Е. Бояринцев предложил приближенные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанные на использовании обобщенных обратных матриц.
Особое место в этом кратком обзоре занимают работы Г.А. Свиридюка и Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой, в которых метод фазового пространства применяется к исследованию задачи (1), (2) при условии. что вектор-функция / = /(«)• При некоторых дополнительных условиях на вектор-функцию / показано, что фазовым пространством уравнения (2) является гладкое С°°-многообразие.
В заключение отметим, что важность и необходимость изучения уравнений вида (2), (3) отмечали И.Г. Петровский и 7К.-П. Лионе.
Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства. Суть его вкратце сводится к следующему. Сингулярное уравнение (3) редуцируется к регулярному
й = Зи, определенному однако не на пространстве Я, а на некотором его под-множестве (р С Я. понимаемом нами как фазовое пространство исходного уравнения (3). Затем ищется разрешающая (полу)группа уравнения (6), которая оказывается разрешающей (полу)группой уравнения (3). Вырожденные аналитические группы и вырожденные сильно непрерывные полугруппы обладают рядом свойств, решительно отличающих их от прототипов. Поскольку в конечномерном случае группы и полугруппы совпадают, то мы воспользуемся свойствами тех и других для создания численного алгоритма решения задачи.
Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации следует считать построение численного алгоритма решения задачи (1), (2), основанного на теории относительно и-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. По численному алгоритму создан программный продукт для расчета экономики коммунального хозяйства малых городов по заказу администрации города Еманжелинска. Созданные программы могут быть тиражированны для других малых городов России.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в разработке численного алгоритма для решения задач вида (1), (2). Практическая значимость заключается в том. что полученный алгоритм был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ''Дифференциальные и интегральные уравнения” (Одесса, 2000), на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), на Воронежских зимней (Воронеж, 1999) и весенней (Воронеж, 1999) математических школах, на семинаре факультета экономики и финансов ЧелГУ и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, вошедшие в диссертацию получены автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 97 страниц. Библиография содержит 106 наименований работ российских и зарубежных авторов.
ц(0) = и0 (1)
для линейного операторного уравнения соболевского типа
Lü = Mu + f, ker¿0{O}. (2)
Если в пространствах il и $ фиксировать некоторые базисы, то операторам Lи М можно поставить в соответствие квадратные матрицы Lи М порядка dimil, а уравнению - вырожденную (т.е. detL = 0) линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Целью диссертации является построение численного алгоритма для решения задачи (1), (2) и разработка экономических приложений системы уравнений (2). Отправными точками послужили теория относительно ^-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических и сильно непрерывных групп операторов, разработанная Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым, и динамическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева ’’затраты-выпуск” с учетом запасов.
Актуальность темы. Как хорошо известно, первые результаты о разрешимости однородного (т.е. f= 0) уравнения (2) были получены Ф.Р. Гантмахером. Основываясь на общей теории пучков матриц pL — М, где Lи М ~ произвольные прямоугольные матрицы одних и тех же размеров, разработанной К. Вейерштрассом и Л. Кронекером, Ф.Р. Гантмахер дал исчерпывающий ответ о решениях однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Именно эти результаты легли в основу работ С.Г. Крейна и его учеников, в которых изучена задача (1) для однородного уравнения
Lú = .Mu, kerZ/{0}(3)
в бесконечномерных банаховых пространствах при условии фредгольмовости оператора (т.е. indL = 0). Независимо от этих результатов М.И. Впшпк предложил свой подход к решению задачи (1), (3). Однако ввиду большой технической сложности методы работ до сих пор не превратились в численные алгоритмы.
С другой стороны, предположим, что национальная экономика некоторой страны состоит из п отраслей, и пусть а,у представляет собой коэффициент затрат, показывающий количество единиц продукции отрасли г, необходимое для производства единицы продукции отрасли Тогда взаимосвязи между валовыми выпусками дд, х?.... .г„ п отраслей экономики и так называемым конечным спросом, включающим в себя потребление и новые инвестиции, удовлетворяют следующей системе
. (П--4)х = у. (4)
Система (4) в экономической литературе получила название ’’система Леонтьева ’’затраты-выпуск””. Для исследования динамики зависимости валового выпуска от конечного спроса В. Леонтьевым была предложена модифицированная система
(П - А)х - Вх = у. (5)
Здесь В - квадратная матрица того же порядка, что и матрица А. Элемент матрицы В представляет собой запас продукции отрасли г, требуемый для производства единицы продукции отрасли Поэтому компоненты вектора Вх описывают скорость прироста всех видов запасов, т.е. скорость накопления или свертывания всех видов капитала в их взаимосвязи с изменениями скоростей выпуска х всех отраслей. Система уравнений (5) была названа ’’системой Леонтьева ’’затраты- выпуск” с учетом запасов” или ’’динамической моделью Леонтьева” в отличие от ’’стационарной модели Леонтьева” (4). Уравнения Леонтьева (4) и (5) стали объектом многих глубоких как теоретических, так и прикладных исследований. В этой области укажем на работы М.Моришимы, Ш. Хошимуры и др.
В свою очередь уравнение (2) является объектом пристального внимания многих математиков. Интересные результаты были получены Н.В.Зубовым и В.Ф. Чистяковым. Ю.Е. Бояринцев предложил приближенные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанные на использовании обобщенных обратных матриц.
Особое место в этом кратком обзоре занимают работы Г.А. Свиридюка и Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой, в которых метод фазового пространства применяется к исследованию задачи (1), (2) при условии. что вектор-функция / = /(«)• При некоторых дополнительных условиях на вектор-функцию / показано, что фазовым пространством уравнения (2) является гладкое С°°-многообразие.
В заключение отметим, что важность и необходимость изучения уравнений вида (2), (3) отмечали И.Г. Петровский и 7К.-П. Лионе.
Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства. Суть его вкратце сводится к следующему. Сингулярное уравнение (3) редуцируется к регулярному
й = Зи, определенному однако не на пространстве Я, а на некотором его под-множестве (р С Я. понимаемом нами как фазовое пространство исходного уравнения (3). Затем ищется разрешающая (полу)группа уравнения (6), которая оказывается разрешающей (полу)группой уравнения (3). Вырожденные аналитические группы и вырожденные сильно непрерывные полугруппы обладают рядом свойств, решительно отличающих их от прототипов. Поскольку в конечномерном случае группы и полугруппы совпадают, то мы воспользуемся свойствами тех и других для создания численного алгоритма решения задачи.
Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации следует считать построение численного алгоритма решения задачи (1), (2), основанного на теории относительно и-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. По численному алгоритму создан программный продукт для расчета экономики коммунального хозяйства малых городов по заказу администрации города Еманжелинска. Созданные программы могут быть тиражированны для других малых городов России.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в разработке численного алгоритма для решения задач вида (1), (2). Практическая значимость заключается в том. что полученный алгоритм был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ''Дифференциальные и интегральные уравнения” (Одесса, 2000), на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), на Воронежских зимней (Воронеж, 1999) и весенней (Воронеж, 1999) математических школах, на семинаре факультета экономики и финансов ЧелГУ и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, вошедшие в диссертацию получены автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 97 страниц. Библиография содержит 106 наименований работ российских и зарубежных авторов.
Подобные работы
- Методы и алгоритмы построения негладких
решений краевых задач теории позиционных
дифференциальных игр и оптимального
управления
Диссертация , математика. Язык работы: Русский. Цена: 5790 р. Год сдачи: 2017 - QR-алгоритм для лямбда-матриц в анализе устойчивости электронных схем
Магистерская диссертация, информационные системы. Язык работы: Русский. Цена: 5400 р. Год сдачи: 2019