Введение 3
1 Краткий обзор предшествующих результатов 4
1.1 Представление решеток решетками конгруэнций различных алгебр . 4
1.2 Решетки конгруэнций полугрупп 6
2 Обзор диссертации 8
2.1 Цели работы и обзор полученных результатов 8
2.2 Структура работы 12
2.3 Апробация и публикации 12
Глава 1. Решетки конгруэнций полугрупп без идемпотентов 14
1 Функция расстояния 15
2 Основное предложение 18
3 Доказательство отсутствия идемпотентов 27
4 Заключительный этап 33
Глава 2. Решетки конгруэнций полугрупп, в которых все конгруэнции рисовские 38
1 Введение 38
2 Идеальная функция 39
3 Основное предложение для случая полугрупп 42
4 Доказательство основных результатов 53
Глава 3. Решетки конгруэнций нильполугрупп 55
1 Введение 55
2 Вспомогательные конструкции 56
3 Решетки конгруэнций конечных нильполугрупп 59
4 Конечные нильполугруппы с модулярными решетками конгруэнций 63
5 Список всех нильполугрупп ширины 2 69
Заключение 94
Список литературы
Каждой универсальной алгебре A можно сопоставить решетку Con A всех ее конгруэнций. Решетки конгруэнций являются важными представителями производных решеток,
к числу которых относят решетки подмножеств, разбиений, подалгебр, многообразий, и
т.д. Изучение решеток конгруэнций алгебр является одним из центральных направлений
в универсальной алгебре.
В целом, исследования в этой области ведутся в следующих направлениях:
1) изучение теоретико-решеточных свойств решеток конгруэнций алгебр из заданного
класса;
2) описание строения алгебр, решетки конгруэнций которых удовлетворяют заданным
свойствам;
3) описание класса решеток, изоморфных решеткам конгруэнций алгебр из заданного
класса.
В последнем случае говорят о представлении решеток решетками конгруэнций алгебр из заданного класса. Однако, термин "представление"в литературе имеет несколько
смыслов, а потому нуждается в уточнении.
Под представлением решетки L решеткой конгруэнций алгебры из класса A мы будем
понимать изоморфизм L на решетку всех конгруэнций некоторой алгебры A, принадлежащей классу A. В самом общем смысле задача состоит в том, чтобы по заданным решетке
L и классу алгебр A определить, существует ли представление L решеткой конгруэнций
алгебры из класса A. Если ответ положительный, мы будем говорить, что L представима
решеткой конгруэнций алгебры из класса A.
Диссертация посвящена исследованию представлений решеток решетками конгруэнций
3полугрупп. К настоящему времени в литературе известны достаточно серьезные результаты о представлении решеток решетками конгруэнций групп. В связи с этим возникает
потребность в исследовании решеток конгруэнций полугрупп, далеких по своему строению
от групп. В диссертации исследованы представления решеток решетками конгруэнций для
класса полугрупп без идемпотентов и для класса полугрупп, в которых все конгруэнции
рисовские. Также описаны все конечные дистрибутивные и модулярные решетки, которые
могут быть представлены решетками конгруэнций нильполугрупп.
В диссертации изучены вопросы о представлении решеток решетками конгруэнций полугрупп.
В рамках данной тематики получены следующие результаты:
1. Получено представление достаточно широких подклассов дистрибутивных алгебраических решеток (включающих, в частности, класс всех конечных дистрибутивных решеток) решетками конгруэнций полугрупп без идемпотентов.
2. Получено представление дистрибутивных алгебраических пространственных решеток решетками конгруэнций полугрупп, все конгруэнции которых являются рисовскими.
3. Исследованы решетки конгруэнций нильполугрупп. Показано, что дистрибутивными
решетками конгруэнций нильполугрупп являются только цепи. Описаны конечные нильполугруппы с дистрибутивными и модулярными решетками конгруэнций. Найдены «запрещенные» решетки, которые не могут быть изоморфны фильтру решетки конгруэнций
какой-либо нильполугруппы.
