Актуальность темы. Диссертация посвящена численному исследованию особенностей множеств уровня функции цены в линейных дифференциальных играх с фиксированным моментом окончания. Предполагается, что непрерывная квазивыпуклая функция платы зависит от некоторых двух компонент фазового вектора в момент окончания игры. В рамках данной работы под особенностями понимаются: ситуации вырождения временных сечений (¿-сечений) множеств уровня — «узкие шейки»; специфические соотношения, связывающие ¿-сечения различных множеств уровня; нарушения регулярной структуры полей оптимальных движений, идущих по границе множеств уровня (излом, расщепление, слияние и т.д.).
Теория дифференциальных игр в настоящее время — развитая математическая дисциплина. Первые отчеты Р.Айзекса по дифференциальным играм относятся к 1951 году. В 1965 году была опубликована его книга «Дифференциальные игры», переведенная на русский язык в 1967 году1. В нашей стране динамические задачи конфликтного управления рассматриваются с начала 60-х годов прошлого века. Первыми были работы Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского. В 1974 году опубликована книга Н.Н.Красовского и А.И.Субботина2. В ней, в частности, предложена позиционная формализация дифференциальных игр и доказана теорема об альтернативе, родственная теореме существования функции цены. Важные результаты были получены в работах Л.А.Петросяна и Б.Н.Пшеничного.
Среди работ зарубежных авторов конца 60-х - начала 70-х годов прошлого века отметим работы В.В.Вегкоуйщ А.В1ацшёге, ТУ.Вгеак’даеП, '^НЛештд, А.клеОшап, С.Ьейшапп, А^.Мега. В них рассматривались теоремы существования функции цены в подходящем классе стратегий и развивался метод Р.Айзекса решения дифференциальных игр при помощи построения сингулярных поверхностей.
Более поздние результаты, относящиеся к 1980-м годам, связаны с истолкованием функции цены игры как обобщенного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса. Теория, опирающаяся на понятие минимаксного решения, была создана А.И.Субботиным. Полученные результаты отражены в книге 2003 года3. Близкое понятие вязкостного решения было введено в работах М.О.Огап4а11 и Р.Б.Бюпб. В этом направлении интенсивно работают в настоящее время М.ВапИ и 1.Сари77О-Во1сеПа...
На рисунках а) сингулярные поверхности имеют в целом сходную структуру с тем отличием, что на рис. 8 протяженность в обратном времени системы поверхностей меньше в силу больших возможностей второго игрока. На рисунках б) видны различия в изменении системы поверхностей: в случае сильного первого игрока увеличивается экиво- кальная поверхность, а в случае слабого первого игрока — рассеивающая. Наконец, в случае в), когда имеет место «однотипность» объектов и игра фактически сводится к задаче управления, остается единственный тип поверхности, соответствующий более сильному игроку. В случае сильного первого игрока это — поверхность переключения (со скачкообразным изменение оптимального управления обоих игроков), а в случае слабого первого игрока — рассеивающая сингулярная поверхность (на ней также скачком меняются оптимальные управления обоих игроков).
Подчеркнем, что когда игра превращается в задачу управления, то полностью пропадает экивокальная поверхность. Она не может существовать в задачах управления.
Численные результаты, полученные при помощи алгоритмов численного глобального построения и классификации сингулярных поверх-литературе результатами аналитических исследований. Алгоритм для случая скалярных управлений был применен к задаче, исследованной в работе В.С.Пацко и С.И. Тарасовой1. Алгоритм для случая строго выпуклых ограничений на управления игроков тестировался на задаче воздушного перехвата, изучавшейся в упоминавшихся ранее статьях Д.БЫпаг. Получено хорошее совпадение, что свидетельствует о разумности процедур, заложенных в алгоритмы.
В параграфе 3.3.9 для случая скалярных управлений описаны закономерности изменения типов сингулярных поверхностей с ростом значения функции цены. При обосновании соответствующей схемы использована теорема об уровневом выметании из второй главы.
